鲁教版五四制初二数学下册知识点汇总
第七章《二元一次方程组》
二元一次方程的有关概念
1、二元一次方程的定义：
含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义：
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
注意：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。
3、二元一次方程的解：
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
例：
1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②
x=-24/7y=59/7为方程组的解
2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②
因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5
这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
4.一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：
例：解方程组x+y=5①
6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③
把③带入②，得6(5-y)+13y=89y=59/7
把y=59/7带入③，x=5-59/7即x=-24/7
∴x=-24/7y=59/7为方程组的解
基本思路：未知数又多变少。
消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
代入法解二元一次方程组的一般步骤：
1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”
2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”
5、把x、y的值用｛联立起来即“联”
加减消元法：像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
例：解方程组x+y=9①
x-y=5②
解：①+②2x=14即x=7把x=7带入①得7+y=9解得y=-2
∴x=7y=-2为方程组的解
用加减消元法解二元一次方程组的解
6、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
7、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。
8、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”。
9、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。
10、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时，应注意用哪种方法简单，避免计算麻烦或导致计算错误。
教科书中没有的几种解法
(一)加减-代入混合使用的方法.
例1,13x+14y=41(1)
14x+13y=40(2)
解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)
把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2
把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2
特点：两方程相加减，单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元.
(二)换元法
例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,
y-4=2所以x=1,y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（三）另类换元
例3，x:y=1:45x+6y=29
令x=t,y=4t 方程2可写为：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4
二元一次方程组的应用
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为"审、、列、解、答〞五步，即：
〔1〕审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
〔2〕：出能够表示题意两个相等关系；
〔3〕列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
〔4〕解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
〔5〕答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.
二元一次方程（组）与一次函数
要点一、二元一次方程与一次函数的关系
1.任何一个二元一次方程(0,)ax by c a b c +=≠、为常数都可以变形为
-(0,)a c y x a b c b b
=+≠、为常数即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.
2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程5x y +=我们列举出它的几组整数解有0,5;x y =⎧⎨=⎩5,0;x y =⎧⎨=⎩2,3x y =⎧⎨=⎩
，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y ＝5+-x 的图像上，反过来，在一次函数x y -=5的图像上任取一点，它的坐标也适合方程5x y +=.
要点诠释：
1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；
2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；
3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.
要点二、二元一次方程组与一次函数
1.二元一次方程组与一次函数
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
要点诠释：
1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数5y x =-与21y x =-图象的交点为
(2，3)，则23x y =⎧⎨=⎩就是二元一次方程组521x y x y +=⎧⎨-=⎩
的解.2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组
无解，则一次函数
35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
2.图像法解二元一次方程组
求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.要点诠释：
利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.
要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式
待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
利用待定系数法解决问题的步骤：
1.确定所求问题含有待定系数解析式.
初二数学下册2.根据所给条件，列出一组含有待定系数的方程.
3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.
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