华师大版八年级下册数学
重难点突破
全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】
【403986 分式的概念和性质知识要点】
要点一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A
B
叫做分式.其中A
要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分
母中都不含字母.
（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常
数，不是字母，如a
π
是整式而不能当作分式.
（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式
不能先化简，如
2
x y
x
是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，
不能看化简的结果.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分
式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M
B B M B B M
⨯÷
==
⨯÷
，（其中M是不等于零的整式）.
要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加
的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中
字母的取值范围有可能发生变化.例如：
，在变形后，
字母x 的取值范围变大了.
要点四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
要点诠释：根据分式的基本性质有
b b a a -=-，b b
a a
-=
-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a
b
-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.
要点五、分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母
再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是
分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
要点六、分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高
次幂的积作为公分母.
（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相
同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再最简公分母.
（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则
是针对多个分式而言.
【典型例题】 类型一、分式的概念
【403986 分式的概念和性质 例1】
1、指出下列各式中的整式与分式：1
x ，
1x y +，2a b +，x π，231x -，23
-，2
32y -+，2
x x
，24y ．
【思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【答案与解析】
解：整式有：2a b +，x π，23
-，2
32y -+，24y ；
分式有：1
x ，1x y +，231
x -，2x x ．
【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处：一个是把π也看作字母来判断，没有弄清π是一个常数；另一个就是将分式化简成整式后再
判断，如x 和2
x x
，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同的．
类型二、分式有意义，分式值为0 【403986 分式的概念和性质 例2】
2、 当x 取什么数时，下列分式有意义？当x 取什么数时，下列分式的值为零？ （1）
21x x +；（2）2
5x x
-；（3）2105x x --． 【答案与解析】
解：（1）当2
10x +≠，即2
1x ≠-时，分式有意义．
∵ 2
x 为非负数，不可能等于－1， ∴ 对于任意实数x ，分式都有意义； 当0x =时，分式的值为零．
（2）当20x ≠即0x ≠时，分式有意义；
当0,50,x x ≠⎧⎨-=⎩
即5x =时，分式的值为零
（3）当50x -≠，即5x ≠时，分式有意义； 当50,2100x x -≠⎧⎨-=⎩①②
时，分式的值为零， 由①得5x ≠时，由②得5x =，互相矛盾．
∴ 不论x 取什么值，分式210
5
x x --的值都不等于零．
【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值为零． 举一反三：
【变式1】（2016春•绍兴期末）下列分式中不管x 取何值，一定有意义的的是（ ）
A ．2
x x
B ．
2
1
1
x x -- C ．
2
3
2
x x ++ D ．
1
1
x x -+
【答案】C.
【变式2】当x 取何值时，分式2
26
x x -+的值恒为负数？ 【答案】 解： 由题意可知20,260,x x ->⎧⎨
+<⎩或20,
260.x x -<⎧⎨+>⎩
解不等式组20,
260,x x ->⎧⎨+<⎩
该不等式组无解．
解不等式组20,
260.
x x -<⎧⎨+>⎩得32x -<<．
所以当32x -<<；时，分式2
26
x x -+的值恒为负数．
类型三、分式的基本性质
【403986 分式的概念和性质 例4】
3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数. (1) ； (2)
； (3)
.
【答案与解析】 解：(1)
；
(2) ()22
11
22
a a a a -++=
=---； (3)
.
【总结升华】(1)、根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用；(2)、添括号法则：
当括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号. 举一反三：
【变式】下列分式变形正确的是（ ）
A ．22x x y y =
B ．22
22
()()()()m n m n m n m n m n m n m n ---==++--
C ．211211x x x x -=
-+- D ．2b ab a a
= 【答案】D ；
提示：将分式变形时，注意将分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式这一条件．其中A 项分子、
分母乘的不是同一整式，B 项中0m n -≠这一条件不知是否成立，故A 、B 两项均是错的．C 项左边可化为：
2111
(1)11
x x x x -=≠---，故C
项亦错，只有D 项的变形是正确的．
类型四、分式的约分、通分
4、约分：（1）22211a a a ++-；（2）23
224n m
mn n --；
通分：（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，2
2
x -．
【答案与解析】
解：（1）22221(1)11(1)(1)1
a a a a a a a a ++++==-+--；
（2）22232222(2)242(2)2(2)n m n m m n mn n n m n n m n ----==---1
2n
=-；
（3）最简公分母是22
2a b c ．
2222333222bc bc a b a b bc a b c ==，22222
()22222a b a b a a ab ab c ab c a a b c ---==． （4）最简公分母是(2)(2)x x +-， 21222(2)(2)4x x x x x x --==++--，22
4444x x
x x =--，222(2)242(2)(2)4
x x x x x x ++==--+-． 【总结升华】如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂．通分的关键是确定几个分式的最简公分母，若分母是多项式，则要因式分解，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变化情况．
类型五、分式条件求值
5、若2x
y
=-，求22222367x xy y x xy y ----的值．
【思路点拨】本题可利用分式的基本性质，采用整体代入法，或把分式的分子与分母化成只含同一字母的因式，使问题得到解决． 【答案与解析】 解法一：因为
2x
y
=-，可知0y ≠， 所以2
2
22
22
2222
1(23)
23167(67)
x xy y x xy y y x xy y x xy y y ----=----2
22367x x y y x x y y
⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭
22(2)2(2)35(2)6(2)79
--⨯--==--⨯--． 解法二：因为2x
y
=-，
所以2x y =-，且0y ≠，
所以222初二数学下册
2
23(3)()3235
67(7)()7279
x xy y x y x y x y y y x xy y x y x y x y y y ---+---====---+---． 【总结升华】本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想．一般情况下，在条件中含有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简的目的． 举一反三： 【变式1】已知(0)346
x y z
xyz ==≠，求222
xy yz zx x y z ++++的值． 【答案】 解： 设
(0)346
x y z
k k ===≠，则3x k =，4y k =，6z k =．
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