【读书笔记】《数学欣赏与发现》
数学欣赏与发现
于国海 编著
第⼀章 厚重悠远的⽂化积淀
第⼀节 从根号2的产⽣到理发师悖论
⼀、根号2的产⽣——第⼀次数学危机
⼗⼤“美丽定理”：根号2是⽆理数这⼀定理名列第七，紧随其后的是“Π为超越数”、四⾊定理、⼤数学家费马的⼀个结论
毕达哥拉斯（约公元前580-前500年）
古希腊⼏何学家欧⼏⾥得证明了根号2是⽆理数
毕⼤哥拉斯：是“哲学”与“数学”的⾸创者，前者意为“智⼒爱好”，后者意为“可以学到的知识”。毕⼤哥拉斯学派的核⼼观点是“万物皆数”，即认为宇宙万物都是可以追溯到整数或整数之⽐。该学派发现了勾股
定理，但也因此引发了第⼀次数学危机。
⼆、⽆穷⼩是否为零——第⼆次数学危机
⽜顿和莱布尼茨创⽴的微积分都建⽴在“⽆穷⼩”的基础上，但⽆穷⼩到底有多⼩？⽜顿推导的时候，会把⽆穷⼩当做分母，之后⼜会把⽆穷⼩的数约掉，那⽆穷⼩到底是不是零，是零就不能当分母，不是零就不能约掉。这是微积分中不严谨的地⽅。
1734年，被主观唯⼼主义哲学的开创者乔治.贝克莱质疑，导致了第⼆次数学危机的产⽣。
争论持续到19世纪，100年后法国著名数学家柯西及其后的魏尔斯特拉斯、戴德⾦、康托尔在实数理论上建⽴的极限理论为微积分理论奠定了严密的逻辑基础。
三、理发师悖论——第三次数学危机
19世纪下半叶，康托创⽴了著名的集合论，终于使数学科学⼤厦平稳起地。
可，英国哲学家伯特兰.罗素提出了⼀个论断：集合论并⾮绝对严格，是有瑕疵的。例如理发师要给“不给⾃⼰理发的⼈”理发，那他⾃⼰要不要给⾃⼰理发？不给⾃⼰理发，那就满⾜条件，那就应该给⾃⼰理发。可给⾃⼰理发，就不满⾜条件，那就不该给⾃⼰理发。
第⼆节 从欧⼏⾥得到罗巴契夫斯基
⼀、欧⼏⾥得与《⼏何原本》
《⼏何原本》是公元前3世纪欧⼏⾥得的著作，被誉为“数学的圣经”。
古希腊亚历⼭⼤学派前期的三⼤数学家：欧⼏⾥得、尼斯、阿基⽶德
⾼斯（19世纪）被公认为⽜顿以后的“数学家之王”。发现了⾮欧⼏何的存在（可证明平⾏公理），但没提出。
⼆、罗巴契夫斯基与⾮欧⼏何
⾮欧⼏何的创建者⼀般认为是罗巴切夫斯基与波尔约。
罗⽒⼏何与欧式⼏何的本质区别在于⼆者的平⾏公理不同。
菲欧⼏何还包括黎曼⼏何。
黎曼为⾼斯的关门弟⼦。
德国科学家克莱因对⾮欧⼏何做出了统⼀的解释：把欧式⼏何称为“抛物⼏何”，罗⽒⼏何称为“双曲⼏何”（三⾓形内⾓和⼩于180度），黎曼⼏何称为“椭圆⼏何”（三⾓形内⾓和⼤于180度）
康德的唯⼼论。
⾮欧⼏何的发现史实质也是唯物主义和唯⼼主义在⼏何学中的⼀段⽃争史。
第三节 从勾股定理到费马猜想
勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，有⼈称其为“⼏何学明珠”，也有⼈称其为“千古第⼀定理”。
毕达哥拉斯，证明了勾股定理。
中国西周商⾼证明勾股定理，⽐西⽅早五百多年。
⼀、勾股定理的证明
赵爽证法：
数学界的最⾼奖——菲尔兹奖
⼆、勾股定理的代数学研究
关于勾股数的统⼀表达，⼀般采⽤下列公式：
17世纪，费马猜想：
形如x^n+y^n=z^n的⽅程，当n>2时，不到⼀组正整数解。
欧拉证明了n=4、3时，⽆正整数解。
英国数学家安德鲁.怀尔斯在1995年最终证明了费马猜想。
第四节 从周易⼋卦到⼆进制数
莱布尼茨堪称是⼀位百科全书式学者，发明了微积分，还发明了⼆进制。
《周易》有⾔：太极⽣两仪，两仪⽣四象，四象⽣⼋卦。坤、⾉（gen）、坎、巽（xun）、震、离、兑、乾。“断态”⽤0表⽰。
第⼆章 美轮美奂的数林奇葩
第⼀节 完全数与亲和数
1903年，柯西发表学术报告，2^67-1 = 193707721x761838257287，引起的巨⼤的轰动，因为他否定了“2^67-1为素数”，同时也否定了“2^66x(2^67-1)为完全数”。否定了梅森猜想。
2^p-1（p为素数）型素数在数论中称为梅森素数。⼈们到的⼤的素数基本都属于梅森素数。
素数也称质数
⼀、完全数
⼀个数等于⾃⾝全部因数（不包括⾃⾝）之和，就是完全数。如6=1+2+3，28也是。（拓展：⽉球绕地球⼀周28天。中国古代王朝有六艺：礼、 乐、射、御、书、数，秦始皇以六为国数，天上有⼆⼗⼋星宿。）
“如果2^n-1是⼀个质数，那么⾃然数2^(n-1)x(2^n-1)⼀定是⼀个完全数 ”。欧⼏⾥得证明了该命题，并给出了下⾯是个完全数。n=2、3、5、7时。
古希腊数学家尼科玛霍斯将⾃然数划分为完全数、盈数与亏数三类：等于⾃⾝所有真因数之和的⾃然数称为完全数，⼤于⾃⾝所有真因数之和的⾃然数称为盈数，⼩于⾃⾝所有真因数之和的⾃然数称为亏数。
偶完全数与梅森素数实质⼀⼀对应。
⼆、亲和数
220的所有真因数之和为284，⽽284的所有真因数之和为220。毕达哥拉斯将这两数称为“亲和数”或者叫“朋友数”。即两个⾃然数中任何⼀个数是另外⼀个数的真因数之和，则这两个数就是亲和数。
1636年，第⼆对亲和数17296和18416被费马到。两年后，笛卡尔到了第三对亲和数：9437056和9363584。
1747年，欧拉直接列出了61对亲和数，虽然有两对有误。
后来陆续到了上千对亲和数。
随着电⼦计算机的诞⽣，发现100万以下的⾃然数只有42对亲和数，10万以下的仅有13对。
第⼆节 梅森素数
梅森素数有⽆穷多个。
⼀、纸笔演算时代的艰⾟探索
在纸笔演算时代，仅到12个梅森素数。
⼆、机器计算时代的重⼤突破
因特⽹梅森素数⼤搜索（GIMPS）项⽬，于2018年公布第51个梅森素数（2^82589933-1），是迄今为⽌⼈类发现的最⼤的素数。
三、结语
寻⼤梅森素数有助于改进传统计算机加密算法。
第三节 ⽔仙花数与卡普列加数
⽔仙花数：传统名字为“3次回归数”或“⾃幂数”。153=1^3+5^3+3^3
若⼀个n位⾃然数等于各位数字的n次幂之和，则称其为n位n次幂回归数。
桃花数：1634=1^4+6^4+3^4+4^4
有⼈把它统称为鲜花数或花朵数。
1986年，数学教师安东尼.迪拉那证明了使n位数成为回归数最多只可能是60位数。
⼆、卡普列加数
巴黎圣母院读书笔记把数字劈成两半（如果是奇数位，则⾼位补0），加起来，再平⽅，正好是原来的数，这样的数称为“卡普列加数”或“雷劈数”，也叫“分和平⽅再现数”。这样的数有2025、3025、9801等。
(x+y)^2 = 100x+y
最⼩的卡普列加数为81（(8+1)^2=81）
第四节 ⾓落⾥的奇珍异宝
⼀、最神秘的数字142857
1/7 =
数字142857从1乘到6后出现了数字轮回象限。
⼆、回⽂数
从左到右和从⼜到左读完全⼀样。
12345678987654321倍称为橄榄数，也是⼀个完全平⽅数。
三、⾃守数
平⽅的尾数等于该数⾃⾝，称这样的数为⾃守数，例如：25x25=625
四、最倒霉的数13
在东⽅，13是⼤吉之数。佛教传⼊中国宗派为⼗三宗，代表功德圆满；布达拉宫13层、天宁佛塔13层等。
但在西⽅国家，⼤家⽐较忌讳13这个数。耶稣的弟⼦犹⼤出卖耶稣，参加最后晚餐的是13个⼈，晚餐的⽇期恰逢13⽇，13给耶稣带来了苦难和不幸。因此酒店没有13层，飞机场也没有13号登机⼝。
五、奇特的等幂和
以下两组数的⽅幂和相等：
从0次⽅幂和到8次⽅幂和都相等，但9次⽅幂，两组数的⽅幂和相等的现象消失了。
第三章 璀璨靓丽的数学明珠
1900年，数学家希尔伯特提出了著名的23个未解决的数学问题，称“希尔伯特问题”。
2000年，美国克莱数学研究所提出了“七个千禧年数学难题”（悬赏100万美元）。
第⼀节 唯美数学定理：欧拉公式与巴塞尔级数
⼀、欧拉公式