知识精要 一、一元一次方程定义及解法： 1、一元一次方程的有关概念 ： （1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程。 （2）一元一次方程的标准形式是： 。 （3)一元一次方程的最简形式: 。 注意： ①任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误。 ②方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成。 2、等式的基本性质： （1）等式的两边同时加上（或减去） 或 ，所得结果仍是等式。 （2）等式的两边同时乘以 或除以 ，所得结果仍是等式。 3、解一元一次方程的基本步骤： （1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的 。 注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号。 （2）去括号：一般地，先去 ，再去 ，最后去 。 注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号。 （3）移项：把含有 的项都移到方程的一边， 移到方程的另一边。 注意：①移项要变号；②不要丢项。 （4）化为最简形式：把方程化成 的形式。 注意：字母和其指数不变。 （5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数（），得到方程的解。 注意：不要把分子、分母搞颠倒。 2、一元一次方程的应用： 1、列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）出等量关系：出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 （1)和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 （2）数字问题 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系等量关系列方程。 （3）市场经济问题 ②商品利润率＝×100% ③商品销售额＝商品销售价×商品销售量 ④商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 ⑤商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。 （4）行程问题 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 (5)工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 (6)储蓄问题 利润＝×100% 利息＝本金×利率×期数 热身练习 1、下列方程中，一元一次方程一共有( A ). ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、给出下面四个方程及其变形： ①；②； ③；④； 其中变形正确的是( D ) A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 3、代数式的值等于1时，的值是（ B ）. A、3 B、1 C、－3 D、－1 3、下列方程以零为解的是( D ). A．0.3x-4＝5.7x+1. B． C．＝0. D．1-｛3x-〔(4x+2)-3 〕｝＝0. 4、已知代数式与的值互为相反数，那么的值等于（ D ）. A.－ B.－ C. D. 5、根据下列条件，能列出方程的是（ B ）. A.一个数的2倍比小3 B.与1的差的 C.甲数的3倍与乙数的的和 D.与的和的 6、一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，某同学做了全部试卷，得了70分，他一共做对了（ C ）. A.17道 B.18道 C.19道 D.20道 7、某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中，该商贩（ C ）. A.不赔不赚 B.赚9元 C.赔18元 D.赚18元 8、哥哥有存款300元，弟弟有存款120元，若从下月起哥哥每月存款100元，要想在5个月后两人的存款数相等，那么弟弟每月应存款（ C ） A．100元 B．160元 C．136元 D．125元 9、已知是关于的一元一次方程，那么___1____. 10、方程的标准形式为_________. 11、当______时，的值等于－的倒数. 12、方程与方程的解一样，则____-21____. 13、某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5％的售价打折出售，售货员最低可以打__七__折出售此商品. 14、某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费. 如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为____12____立方米 . 15、解方程： （1）； （2）. 解： 解： 16、一艘船从A港到B港顺流行驶，用了5小时；从B港返回A港逆流而行，用了7.5小时，已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度 解：设静水中的船速度为千米/小时。则可列方程 解得 答：略 精解名题 例1、某七年级学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米／小时，运货汽车的速度为35千米／小时， ？”（涂黑部分表示补墨水覆盖的若干文字），请将这道作业题补充完整，并列方程解答． 参考：老师学生自己讨论. 例2、小赵和小王交流暑假中的活动，小赵说：“我参加科技夏令营，外出一个星期，这七天的日期数之和是84，你知道我是几号出去的吗？”小王说：“我假期到舅舅家去住了七天，日期数的和再加月份数也是84，你能猜出我是几月几号回家的？”试试看，列出方程，解决小赵与小王的问题． 解：小赵是9号出去的，小王是7月15号回家的(提示：可设七天的中间一天日期数是x，则其余六天分别为x－3，x－2，x－1，x+1，x+2，x+3，由题意列方程，易求得中间天数，对小王的情形，由于七天的日期数之和是7的倍数，因为84是7的倍数，所以月份数也是7的倍数，可知月份数是7，且在8号至14号在舅舅家．故于7月15号回家． 例3、铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？ 分析：本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程。 解：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得 （x-1）×22=（x-3）×26。 解得x=14。所以火车的车身长为 （14-1）×22=286（米）。 答：这列火车的车身总长为286米。 例4、一辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时40千米,在下坡路上行驶的速度是每小时50千米,在平路上行驶的速度是每小时45千米.某日这辆汽车从甲地开往乙地,先是用了的时间走上坡路,然后用了的时间走下坡路,最后用了的时间走平路.已知汽车从乙地按原路返回甲地时,比从甲地开往乙地所用的时间多15分钟,求甲、乙两地的距离. 解：设汽车从甲到乙所用时间为3x小时,依题意 ,得,解得x=5, 故甲、乙两地的距离为40x+50x+45x=135x=675(千米). 备选例题 例1、某公路干线上,分别有两个小站A和B,A、B两站相距63千米,A站有一辆汽车其最大时速为45千米/小时,B站有一辆汽车其最大时速为36千米/小时.如果两车同时同向分别以最大时速从两站开出.求经过多长时间后,两车相距108千米. 解： 设经过x小时后,两车相距108千米,依题意,得45x-(36x+63)=108(沿AB方向)或 (45x+63-36x=108+63)(沿BA方向).解得x=19或x=5. 答:若沿AB方向出发,19小时后,两车相距108千米;若沿BA方向出发,5小时后,两车相距108千米. 例２、某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆? 解：设还需要B型车a辆，由题意得 20×5+15a≥300 15a≥200 a≥40/3 解得a≥13又1/3 . 由于a是车的数量，应为正整数，所以x的最小值为14. 答：至少需要14台B型车. 巩固练习 1、指出下列方程中的未知数是什么，方程的左边是什么，方程的右边是什么？并且判断它是否是一元一次方程？ （1）；（是） （2）； （不是） （3）；（不是） （4）；（不是） （5）； （是） （6）；（是） （7）．（是） 2、若方程3x－5＝1与方程有相同的解，则的值等于 2 ． 3、已知 -1 ． 4、一次买10斤鸡蛋打八折比打九折少花2元，则这10斤鸡蛋的原价是 20 元． 5、某商品标价1375元，打8折（按标价的80%）售出，仍可获利10%，则该商品的造价是 1000 元． 6、某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，若A、C两地距离为2千米，则A、B两地之间的距离是 12.5千米 ． 7、某人从A地出发，先上山，再下山到B地共走0.4千米，再由B地顺原路返回，已知上山速度为千米/时，下山速度为千米/时，那么从A地到B地再回到A地所用时间是 小时． 8、下列方程是一元一次方程的是（ C ） A． B． C． D． 9、解方程(x-1)=3,下列变形中，较简捷的是 （ B ） A．方程两边都乘以4，得3（x-1）=12 B．去括号，得x-=3 C．两边同除以，得x-1=4 D．整理，得 10、是关于的一元一次方程，且该方程有惟一解，则（ C ） A． B． C． D． 11、若互为相反数（），则的根是（ A ）. A.1 B.－1 C.1或－1 D.任意数 12、甲、乙、丙三人共捐款611元支援山区，甲比乙多25元，比丙少36元，则丙捐款数为 （ C ） A．200元 B．175元 C．236元 D．218元 13、为了从500只外形相同的鸡蛋中到唯一的一只双黄蛋，检查员将这些鸡蛋按1－500的顺序排成一列，第一次先从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋的原来位置上又按1－250编号（即原来的2号变为1号，原来的4号变成2号，…，原来的500号变成250号）。又从中取出新序号为单数的蛋进行检查，任没有发现双黄蛋，……，如此下去，检查到最后的一个是双黄蛋，问这只双黄蛋最初的序号是 （ C ） A.48 B.250 C.256 D.500 14、解方程 （1） （2）． 解： 解： 15、某体育场的环形跑道长400米，甲、乙二人在跑道上练习，甲平均每分钟跑250米，乙平均每分钟跑290米，现在两人同时从同地同向出发，经过多长时间两从才能再次相遇？ 解：设经过分钟后相遇， 解得 答：略 16、 如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？ 分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。 解：设追上甲时乙走了x分。依题意，甲在乙前方 3×90=270（米）， 故有 72x＝65x+270。 由于正方形边长为90米，共四条边，故由 可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。 答：当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。 自我检测 1、在方程，，，,，中，是一元一次方程的有（ B ）个． A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 2、 方程1-去分母得 （ C ） A．1-2(2x-4)=-(x-7) B．6-2(2x-4)=-x-7 C．6-2(2x-4)=-(x-7) D．以上答案均不对 3、方程是一元一次方程，则等于（ A ）． A． B． C． D． 4、若关于的方程是一元一次方程，则、的取值是（ B ）． A． B． C． D． 5、x=1是方程（ D ）的解. A．- B． C．2{3[4(5x-1)-8]-2}=8 D．4x+=6x+ 6、一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是（ D ）. A.106元 B.105元 C.118元 D.108元 7、一条山路，某人从山下往山顶走3小时还有1千米才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1．5倍，求山下到山顶的路程．设上山速度为x千米/分钟，则所列方程为( D ) A．x－1=5(1．5x) B．3x+1=150(1.5x) C．3x－1= (1．5x) D．180x+1=150(1.5x) 8、一项工程甲独做10天完成，乙的工作效率是甲的2倍，两人合做了m天未完成，剩下的工作量由乙完成，还需的天数为( D ) A．1－（1 +)m B．5－ m C六年级下册数学教案． m D．以上都不对 9、若2（3-a）x-4=5是关于x的一元一次方程，则a≠ 3. 10、关于x的方程ax=3的解是自然数，则整数a的值为： . 11、已知方程是一元一次方程，则 -2 ； 1 ． 12、当m= 时，方程的解为0. 13、已知a≠0.则关于x的方程3ab-(a+b)x=(a-b)x的解为 . 14、假定每人的工作效率都相同，如果个人天做个玩具熊，那么个人做个玩具熊需要______天． 15、甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑9米，乙每秒钟跑7米． (1)当两人同时同地背向而行时，经过____25______秒钟两人首次相遇； (2)两人同时同地同向而行时，经过_____200_____秒钟两人首次相遇． 16、解下列方程 （1） （2）[ ()-4]=x+2; 解： 解： 17、甲、乙两人骑车分别从A，B两地相向而行，已知甲、乙两人的速度比是2∶3，甲比乙早出发15分钟，再经过1小时45分钟遇见乙，此时甲比乙少走6千米，求甲、乙两人骑车的速度和A、B两地的距离？ 解：设甲的速度为，则乙的速度为，则可列方程 解得 所以A、B两地距离为千米 答：略 |
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