高中数学教案§1.4 古典概型(Classical Probability)
一、排列与组合公式的复习
1. 两大计数原理： 乘法原理，加法原理（简单介绍）。
2. 排列、组合的定义及计算公式
（1）排列：())( ),1()2)(1(!
! n r r n n n n r n n A r n ≤+---=-= ， 特例，全排列!n A n n =。
（2）组合： )( ,!)1()2)(1(!n r r r n n n n r A r n C r n r n
≤+---== ??= 特例，1,0==-n r n n r n C C C 。
3. 从n 个不同的球中摸取r 个球，
（1）有放回计序（重复排列）：r
n 种取法；
（2）无放回种取法；不计序（组合）：种取法；计序（排列）：r n r n C A 二、 古典概型（等可能概型）(Classical probability)
1. 古典概型 “概型”是指某种概率模型。“古典概型”是一种最简单、最直观的概率模型。它具有下述特征：
（1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个，不妨设为n 个，记为{}n e e e S ,,,21 =；
（2）每个基本事件出现的可能性是相等的，即有{}{}{})()()(21n e P e P e P === 。
称这种数学模型为古典概型(Classical probability)或等可能概型。
它在概率论中具有非常重要的地位，一方面它比较简单，既直观，又容易理解，另一方面它概括了许多实际内容，有很广泛的应用。
2. 等可能概型中事件概率的计算：设在古典概型中，试验E 共有n 个基本事件，事件A 包含了k 个基本事件，则事件A 的概率为
基本事件总数
的有利事件数中的基本事件总数中所含的基本事件数A S A n k A P ===)(. (A 中所含的基本事件数,习惯上常常称为是A 的有利事件数),不难验证,上述的概率)(?P 的确具有非负性、规范性和有限可加性.）
（【注】讲课时可以简单证明这个公式）
求解古典概率问题,一般要做好三方面的工作：
一是判明问题性质,分辨所解的问题,是不是古典概率问题.如果问题所及的试验,具有以下两个基本特征：(1)试验的样本空间的元素只有有限个；(2)试验中每个样本点出现的可能性相同.那么,我们就可断定它是一个古典概率问题.
二是掌握古典概率的计算公式．如果样本空间包含的样本点的总数为n ，事件A 包含的样本点数(即A 的有利场合的数目)为k ，那么事件A 的概率是 P(A)=n k =样本点总数包含的样本点数事件A =样本点总数
的有利场合数A . 三是根据公式要求，确定n 和k 的数值. 这是解题的关键性一步，计算方法灵活多变，没有一个固定的模式. 古典概率一种解法大体都是围绕n 和k 的计算而展开的.
三、几类基本问题:
抛硬币、掷骰(t óu)子、摸球、取数等随机试验，在概率问题的研究中，有着十分重要的意义. 一方面，这些随机试验，是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确，富有直观性和典型性，便于深入浅出地反映事物的本质，揭示事物的规律. 另一方面，这种模型化的处理方法，思想活泼，应用广泛，具有极大的普遍性，不少复杂问题的解决，常常可以归结为某种简单的模型. 因此，有目的地考察并掌握若干常见的概率模型，有助于我们举一反三，触类旁通，丰富解题的技能和技巧，从根本上提高解答概率题的能力.
本部分主要讨论古典概率中的五类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题、抽签问题和分组问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用.
例1（摸球问题） 一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑球，三个白球。
（1）从袋中随机地取出两个球，求取出的两球都是黑球的概率。
（2）从袋中不放回取两次，每次取一个球，求取出的两球都是黑球的概率。
（3）从袋中有放回取两次，每次取一个球，求取出的两球都是黑球和至少有一个是黑球的概率。
解：设A 表示事件{取出的两球是黑球}，B 表示事件{取出的两球是白球}，C 表示事件{至少有一个是黑球}
（1）()P A =25C /28
C 14/5=； （2）()P A =25A /14/5=；
（3）-=-=1)(1)(B P C P 23A /28
A 28/25=. 【评注】 如果把题中的“白球”、“黑球”换为“正品”、“次品”或“甲物”、“乙物”等等,我们就可以得到各种各样的“摸球问题”.为了让学生对此有深切的体会,再看下面的例子：（学生基本上能答对）
(1)一批灯泡40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查.问：① 5只都是好的概率为多少？② 5只中有2
只坏的概率为多少？ (答案：①540
537C C ;②54023337C C C ) (2)在相应地写有2,4,6,7,8,11,12及13的8张相同的卡片中,任意取出2张,求由所取得的两个数构成的
分数为可约的概率. (答案:2825C C )
(3)从一副扑克牌(52张)中任取6张,求得3张红牌和三张黑牌的概率.(答案：6
52326326C C )
(4)用火车运载两类产品,甲类n 件,乙类m 件.有消息证实,在路途中有2件产品损坏.求损坏的是不同产品的概率. (答案:211m n m n C C C +?)
(5)一个班级有n 2个男生和n 2个女生,把全班学生任意地分成人数相等的两组,求每组中男女生人数相等
的概率. (答案：n n n n n C C C 24222?)
(6)从数1,2,…, n 中任取两数,求所取两数之和和偶数的概率.
(答案：当n 为偶数时, 222/2n n C C p =；当n 为奇数时,222/)1(22/)1(n
n n C C C p +-+=) 练习1：在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5
个产品中恰有一个次品的概率。（138.05100
49713≈C C C ） 【提问】能自己推出本题的一般情形吗？（让学生课后自己回去考虑）
不难发现,上述各个问题的解决,都可以归结为摸球问题. 我们说摸球问题具有典型意义,原因也正在于此.
例2 (分球入盒问题)（分房模型） 将n 个球随机地放入N 个盒子中)(N n ≤（设盒子的容量不限），求：
（1）每个盒子至多有一个球的概率；
（2）某个指定的盒子中恰有m （m N <）个球的概率；
（3）某指定n 个盒子中各恰有一个球的概率；
（4）恰有n 个盒子中各有一个球的概率；
（5）至少有两个球在同一个盒子中.
解：先求n 个球随机地放入N 个盒子的方法总数。因为每个球都可以落入N 个盒子中的任何一个，有N 种
不同的放法，所以n 个球放入N 个盒子共有n n
N N N N =
种不同的放法。 设（1）至（5）个问题中对应事件分别为521,,A A A ，
（1）第一个球可以放进N 个盒子之一，有N 种放法；第二个球只能放进余下的1-N 个盒子之一，有1
-
N 种放法；．．．第N 个球只能放进余下的1+-n N 个盒子之一，有1+-n N 种放法；所以共有)1()1(+--n N N N 种不同的放法。故
=)(1A P n n N n N
A N n N N N =+--)1()1( ； （2）先从n 个球中任选m 个分配到指定的某个盒子中，共有m n C 种选法；再将剩下的m n -个球任意分配
到剩下的1-N 个盒子中，共有m N n --)1(种放法。所以 n
m
n m n N N C A P --=)1()(2； （3）n N n A P !)(3=；（4）=)(4A P n n N N A ；（5）-=1)(5A P =)(1A P n n N N
A -1. 【评注】 n 个球在Ｎ个盒子中的分布,是一种理想化的概率模型,可用以描述许多直观背景很不相同的随机
试验.为了阐明这一点,我们列举一些貌异质同的试验：
发布评论