高中数学选修1-2《直接证明与间接证明》教案
自主梳理
1.直接证明
(1)综合法
②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P表示已知条件，Q表示要证的结论).
(2)分析法
①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分析法.
②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.
2.间接证明
反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
自我检测
1.分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.(2011•揭阳模拟)用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”的假设内容应是( )
A.3a=3b B.3a<3b
C.3a=3b且3a<3b D.3a=3b或3a<3b
3.设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )
A.|a-c|≤|a-b|+|c-b|
B.a2+1a2≥a+1a
C.a+3-a+1
D.|a-b|+1a-b≥2
4.(2010•广东)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：
那么d⊗高中数学教案(a⊕c)等于( )
A.a B.b C.c D.d
5.(2011•东北三省四市联考)设x、y、z∈R+，a=x+1y，b=y+1z，c=z+1x，则a、b、c三数( )
A.至少有一个不大于2 B.都小于2
C.至少有一个不小于2 D.都大于2
探究点一 综合法
例1 已知a，b，c都是实数，求证：a2+b2+c2≥13(a+b+c)2≥ab+bc+ca.
变式迁移1 设a，b，c>0，证明：
a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
探究点二 分析法
例2 (2011•马鞍山月考)若a，b，c是不全相等的正数，求证：
lg a+b2+lg b+c2+lg c+a2>lg a+lg b+lg c.
变式迁移2 已知a>0，求证： a2+1a2-2≥a+1a-2.
探究点三 反证法
例3 若x，y都是正实数，且x+y>2，
求证：1+xy<2与1+yx<2中至少有一个成立.
变式迁移3 若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+π2，b=y2-2z+π3，c=z2-2x+π6.求证：a，b，c中至少有一个大于0.
转化与化归思想的应用
例 (12分)(2010•上海改编)若实数x、y、m满足|x-m|>|y-m|，则称x比y远离m.
(1)若x2-1比1远离0，求x的取值范围.
(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2abab.
多角度审题 (1)本题属新定义题，根据“远离”的含义列出不等式，然后加以求解.
(2)第(2)小题，实质是证明不等式|a3+b3-2abab|>|a2b+ab2-2abab|成立.证明时注意提取公因式及配方法的运用.
【答题模板】
(1)解 由题意得x2-1>1，
即x2-1>1或x2-1<-1.[2分]
由x2-1>1，得x2>2，即x<-2或x>2;由x2-1<-1，得x∈∅.
综上可知x的取值范围为(-∞，-2)∪(2，+∞).[4分]
(2)证明 由题意知即证a3+b3-2abab>a2b+ab2-2abab成立.[6分]
∵a≠b，且a、b都为正数，
∴a3+b3-2abab= a3 2+ b3 2-2a3b3= a3-b3 2=(aa-bb)2，
a2b+ab2-2abab=ab a+b-2ab =ab(a-b)2=(ab-ba)2，[8分]
即证(aa-bb)2-(ab-ba)2>0，
即证(aa-bb-ab+ba)(aa-bb+ab-ba)>0，
需证 a-b a+b a-b a+b >0，[10分]
即证(a+b)(a-b)2>0，∵a、b都为正数且a≠b，∴上式成立.故原命题成立.[12分]
【突破思维障碍】
1.准确理解题意，提炼出相应不等式是解决问题的关键.
2.代数式|a3+b3-2abab|与|a2b+ab2-2abab|中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便.
【易错点剖析】
1.推理论证能力较差，绝对值符号不会去.
2.运用能力较差，不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错.
1.综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论.即由因导果.
2.分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.即执果索因，用分析法寻解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法.
3.用反证法证明问题的一般步骤：
(1)反设：假定所要证的结论不成立，即结论的反面(否定命题)成立;(否定结论)
(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)
(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.(结论成立)
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有有理数根，那么a、b、c
中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( )
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