第一章  集合与简易逻辑
●网络体系总览
●考点目标定位
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.
2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.
3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.
4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质.
●复习方略指南
本章内容在高考中以考查空集与全集的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容.逻辑联结词与充要条件这部分，以充要条件为重点考查内容.
本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：
1.复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面是对集合知识的应用.
2.主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚.
3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，二者相互对照可加深对双方的认识和理解.
4.复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌握逻辑知识的目的.
5.集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通.
1.1  集合的概念与运算
●知识梳理
1.集合的有关概念
2.元素与集合、集合与集合之间的关系
（1）元素与集合：“∈”或“”.
（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.
3.集合的运算
（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，
记为A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.
（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.
（3）补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集S中的补集（或余集），记为S A，即S A={x|x∈S且xA}.
●点击双基
1.（2004年全国Ⅱ，1）已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于
A.{x|x＜－2}            B.{x|x＞3}            C.{x|－1＜x＜2}        D.{x|2＜x＜3}
解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，
∴M∩N={x|－1＜x＜2}.
答案：C
2.（2005年北京西城区抽样测试题）已知集合A={x∈R|x＜5－}，B={1，2，3，4}，则（RA）∩B等于
A.{1，2，3，4}                            B.{2，3，4}
C.{3，4}                                    D.{4}
解析： RA={x∈R|x≥5－}，而5－∈（3，4），∴（RA）∩B={4}.
答案：D
3.（2004年天津，1）设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是
A.P∩Q=P                                    B.P∩QQ
C.P∪Q=高中数学教案Q                                  D.P∩QP
解析：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩QP.
答案：D
4.设U是全集，非空集合P、Q满足PQU，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______________.
解析：构造满足条件的集合，实例论证.
U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，则（UQ）=｛3｝，（UP）={2，3}，易见（UQ）∩P=.  答案：（UQ）∩P
5.已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ*｝，C＝｛x｜xA｝，则A、B、C之间的关系是___________________.
解析：用列举法表示出B＝｛1｝，C＝｛，｛1｝，｛0｝，A｝，易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.
答案：BA，A∈C，B∈C
●典例剖析
【例1】 （2004年北京，8）函数f（x）=其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}.给出下列四个判断，其中正确判断有
①若P∩M=，则f（P）∩f（M）=  ②若P∩M≠，则f（P）∩f（M）≠  ③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R  ④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R
A.1个                  B.2个                  C.3个                  D.4个
剖析：由题意知函数f（P）、f（M）的图象如下图所示.
设P=［x2，+∞），M=（－∞，x1］，∵|x2|＜|x1|，f（P）=［f（x2），+∞），f（M）=［f（x1），+∞），则P∩M=.
而f（P）∩f（M）=［f（x1），+∞）≠，故①错误.同理可知②正确.设P=［x1，+∞），M=（－∞，x2］，∵|x2|＜|x1|，则P∪M=R.
f（P）=［f（x1），+∞），f（M）=［f（x2），+∞），
f（P）∪f（M）=［f（x1），+∞）≠R，故③错误.同理可知④正确.
答案：B
【例2】 已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.
解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，
设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，且－1≤x1≤0，    ①
由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1.        ②
由①②知x1＝－1，x2＝2，∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.
评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.

深化拓展
（2004年上海，19）记函数f（x）=的定义域为A，g（x）=
lg［（x－a－1）（2a－x）］（a＜1）的定义域为B.
（1）求A；
（2）若BA，求实数a的取值范围.
提示：（1）由2－≥0，得≥0，
∴x＜－1或x≥1，即A=（－∞，－1）∪［1，+∞）.
（2）由（x－a－1）（2a－x）＞0，得（x－a－1）（x－2a）＜0.
∵a＜1，∴a+1＞2a.∴B=（2a，a+1）.
∵BA，∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2.
而a＜1，∴≤a＜1或a≤－2.
故当BA时，实数a的取值范围是（－∞，－2］∪［，1）.
【例3】 （2004年湖北，10）设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是
A.PQ                B.QP                C.P=Q                D.P∩Q=Q
剖析：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，
对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；
②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0.
综合①②知m≤0，∴Q={m∈R|m≤0}.
答案：A
评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.
【例4】 已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求实数m的取值范围.
剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.
解：由得x2+（m－1）x+1=0.    ①
∵A∩B≠，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.
首先，由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1.
当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；
当m≤－1时，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
综上所述，所求m的取值范围是（－∞，－1］.