高中数学必修二《第十章 概率》复习教案
10.1.1 有限样本空间与随机事件
学 习 目 标 | 核 心 素 养 |
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．(重点) 2．理解随机事件与样本点的关系．(重点、难点) | 1.通过对随机事件、必然事件、不可能事件概念的学习，培养学生数学抽象素养． 2. 通过写出试验的样本空间，培养学生数学建模素养. |
【自主预习】
1．随机试验的概念和特点
(1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示．
(2)随机试验的特点：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
定义 | 字母表示 | |
样本点 | 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 | 用ω表示样本点 |
样本空间 | 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 | 用Ω表示样本空间 |
有限样本空间 | 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 | Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} |
3.三种事件的定义
随机事件 | 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 |
必然事件 | Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 |
不可能 事件 | 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 |
思考1：如何确定试验的样本空间？
[提示] 确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
思考2：观察随机试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？
[提示] 不一定，也可能是无限的．如在实数集中，任取一个实数．
1．下列现象中，是随机现象的有( )
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆．
②若a为整数，则a＋1为整数．
③发射一颗炮弹，命中目标．
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C [当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，其余3个均为随机现象．]
2．从数字1,2,3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝ .
{12,13,23} [从数字1,2,3中任取两个数字，共有3个结果：12, 13, 23，
所以Ω＝{12,13,23}．]
3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；
②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；
③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”．
其中 是随机事件； 是不可能事件．(填上事件的编号)
①③ ② [因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件．]
【合作探究】
事件类型的判断 | |
【例1】 下列事件：①任取一个整数，被2整除；②小明同学在某次数学测试中成绩一定不低于120分；③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．其中随机事件的个数是( )
A．1 B．3 C．0 D．4
B [①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是一定发生的事件，为必然事件．故选B.]
判断一个事件是哪类事件要看两点
一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解] (1)购买一注，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
确定试验的样本空间 | |
[探究问题]
1．如何确定试验的样本空间？
[提示] 确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
2．写试验的样本空间要注意些什么？
[提示] 要考虑周全，应想到试验的所有可能的结果，避免发生遗漏和出现多余的结果．
【例2】 指出下列试验的样本空间：
(1)从装有红、白、黑三种颜的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差．
[思路探究] 根据题意，按照一定的顺序列举试验的样本空间．
[解] (1)样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}．
(2)由题意可知：
1－3＝－2,3－1＝2，
1－6＝－5,6－1＝5，
1－10＝－9,10－1＝9，
高中数学教案3－6＝－3,6－3＝3，
3－10＝－7,10－3＝7，
6－10＝－4,10－6＝4.
即试验的样本空间Ω＝{－2,2，－5,5，－9,9，－3,3，－7,7，－4,4}．
1．求本例(2)中试验的样本点的总数．
[解] 样本点的总数为12.
2．满足“两个数的差大于0”的样本点有哪些？
[解] 满足“两个数的差大于0”的样本点有：2,5,9,3,7,4，共6个．
3．在本例(1)中，从装有红、白、黑三种颜的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜后放回，连续取两次，指出试验的样本空间．
[解] 样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．
4．在本例(2)中，从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)分别作为平面内点的纵横坐标，指出试验的样本空间．
[解] 由题意可知：样本空间Ω＝{(1,3)，(1,6)，(1,10)，(3,1)，(3,6)，(3,10)，(6,1)，(6,3)，(6,10)，(10,1)，(10,3)，(10,6)}．
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定
发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．写随机试验的样本空间时，要按照一定的顺序，特别注意题目的关键字，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
【课堂达标练习】
1．判断正误
(1)试验的样本点的个数是有限的．( )
(2)某同学竞选本班班长成功是随机事件．( )
(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点．( )
[提示] (1)错误．试验的样本点的个数也可能是无限的．
(2)正确．
(3)错误．“(正面，反面)”表示第一次得到正面，第二次得到反面，而“(反面，正面)”表示第
一次得到反面，第二次得到正面，所以二者是不同的样本点．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．下列事件不是随机事件的是( )
A．东边日出西边雨 B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴
B [B是必然事件，其余都是随机事件．]
3．下列试验：
①当x是实数时，x－|x|＝2；
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；
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