3.1.1  函数的概念
教学目标：
1.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
2.了解构成函数的要素.
3.能求简单函数的定义域.
教学重点：用集合语言和对应关系刻画函数的概念.
教学难点：对函数概念的理解.
教学过程：
（一）新课导入
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.在前面我们已经学习了集合的有关知识，在本节中，我们将在集合的基础上，用新的观点进一
步学习函数的概念.
（二）探索新知
探究一：函数的概念
（老师引导学生分析问题1-4，并归纳出函数的共同特征，由此引出函数的概念.）
问题1-4的共同特征有：(1)都包含两个非空数集，用A,B表示；
(2)都有一个对应关系；
(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
定义：一般地，设A , B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.
常见函数的三要素：
一次函数：的定义域是R，值域也是R.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数.
二次函数：的定义域是R，值域是B.当a>0时，；当a<0时，.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数.
反比例函数：的定义域为，对应关系为“倒数的k倍”，值域为.反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集中的任意一个x值，按照对应关系f：“倒数倍”，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么此时f：就是集合A到集合B的一个函数，记作
探究二：函数的应用
(老师引导学生思考、分析例1，并让学生分组讨论写出P63的探究.)
例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.
解：把看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数x(10-x).
如果对x的取值范围作出限制，例如,那么可以构建如下情境：
长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x(10-x).
其中，x的取值范围是，y的取值范围是.对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积x(10-x).
探究：构建其他可用解析式y=x(10-x)描述其中变量关系的问题情境.
答案：设两个实数的和为10，其中一个数为x，这两个数的积为y，则y=x(10-x)，其
中x的取值范围为A=R，y的取值范围为.对应关系f高中数学教案把A中任一x值对应B中唯一确定的x(10-x).
探究三：区间
定义：研究函数时常会用到区间的概念.设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：
(1) 满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
(2) 满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；
(3) 满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，外别表示为[a，b)，(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
这些区间的几何表示如下表所示.在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
实数集R可以用区间表示为,“”读作“无穷大”，“ ”读作“负无穷大”，“ ”读作“正无穷大”.
如下表，我们可以把满足的实数x的集合，用区间分别表示为
[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b).
表示区间应注意的问题：
(1)关注“开”与“闭”，“开”用小括号，“闭”用中括号；在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
(2)区间实质上是一类特殊数集的另一种表示.并不是所有的数的集合都能用区间表示，如{0,1,2}就不能用区间表示.
(3)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b-a称为区间(a,b)或[a,b]的长度.
(4)用“-∞”或“+∞”作为区间端点时，需用开区间符号.
（老师在讲完注意问题后，出几个类型的不等式变式训练检测学生的学习情况）
探究四：求函数的定义域
(老师引导学生完成例2的学习，和学生强调在函数定义中，我们用符号y=f(x)表示函数，其中f(x)表示x对应的函数值，而不是f乘x.)
例2 已知函数
(1)求函数的定义域；
(2) 求f(-3)，f()的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.
解：(1)使根式有意义的实数x的集合是，使分式有意义的实数x的集合是.所以，这个函数的定义域是
即[-3,-2)∪(-2,+∞).
(2)将-3与代入解析式，有
(3)因为a>0，所以f(a),f(a-1)有意义.
(在解决完例2后，老师与学生一起归纳方法技巧)
方法技巧：
(1)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各式子都有意义的公共部分的集合.
求函数定义域的步骤
①列不等式(组)：根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式(组)
②解不等式(组)：解出所列不等式或不等式组中每个不等式的解集后在求交集
③得定义域：把不等式(组)的解集表示成集合或区间的形式
(2)已知函数解析式求函数值，可将自变量的值代入解析式求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解.
探究五：相同函数
老师引导学生归纳出函数相同的条件：对应关系相同；定义域相同.并完成例3.
例3 下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
（1） ；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1），它与函数y=x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.
（2），它与函数y=x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y=x(x∈R)是同一个函数.
（3）它与函数y=x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y=x(x∈R)不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.
（4），它与函数y=x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.
学习完本节的内容后，老师给学生留出时间P66思考题.
思考答案：
相同点：初中与高中所学函数的两个定义本质是一样的，即两种对应关系满足的条件相同，
对x的每一个值，都有唯一确定的值y与之对应.
不同点：前者是从运动变化的观点出发，后者是 从集合观点出发，用两个非空数集的对应关系定义的.
（三）课堂练习
1. 已知函数.
(1).求函数的定义域.
(2).求,的值.
解：(1)根据题意知且,∴且,即函数的定义域为.
(2)..
.
2. 判断下列对应是否为同一函数:
(1). 与
(2). 与
(3). 与
解：(1).不是同一函数,因为定义域不同,前者定义域为R,后者定义域为
(2).是同一函数,虽然变量不同,但不改变意义;
(3).不是同一函数,因为定义域不同.
（四）课堂小结：本节课我们主要学习了哪些内容？
板书设计：
3.1.1函数的概念
1.函数的定义
2.函数三要素：定义域，对应关系，值域.
3.区间
4.相同函数：定义域，对应关系相同