第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
一、教学目标
2. 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性，能够用其解决有关问题；
二、教学重难点
1. 教学重点
集合的含义与表示方法，元素与集合的关系.
2. 教学难点
元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合.
三、教学过程
（一）新课导入
探究下列问题：
（1）1~10之间的所有偶数；
（2）立德中学今年入学的全体高一学生；
（3）所有正方形；
（4）到直线l的距离等于定长d的所有点；
（5）方程的所有实数根；
（6）地球上的四大洋.
思考：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？
（二）探索新知
探究一：集合的概念
1. 集合的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.
问题1 “较小的数”能否构成一个集合？
答案：不能，组成它的元素不确定.
结论：集合中的元素是确定的.
问题2 由1，2，0，，这些数组成的一个集合中有几个元素？
答案：集合中有4个不同元素1，2，0，.
结论：集合中的元素是互异的.
若构成两个集合的元素是一样的，则称这两个集合相等.
问题3 高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？
答案：集合没有变化.
结论：集合中的元素是没有顺序的.
问题4 小组讨论，归纳集合中元素的特性.
归纳：确定性、互异性、无序性.
2. 集合与元素的表示
通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.
探究二：元素和集合的关系
问题5 已知下面的两个实例：
（1）用A表示高一（1）班全体女生组成的集合；
（2）用a表示高一（1）班的一位女学生，b表示高一（1）班的一位男学生.
思考：那么a，b与集合A分别有什么关系？
解：a是集合A中的元素，b不是集合A中的元素.
概念：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作.
常用的数集及其记法：
非负整数集（自然数集）：N；
正整数集：N*或N+；
整数集：Z；
有理数集：Q；
实数集：R.
探究三：集合的表示方法
1. 列举法
思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？
答案：可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.
思考2：方程的所有实数根组成的集合，如何表示？
答案：可以表示为{1，2}.
列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合.
解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，
9}.
（2）设方程的所有实数根组成的集合为B，那么B ={1，0}.
注意：由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法.例如，例1（1）还可以表示为A ={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}等；
2. 描述法
问题8 能否用列举法表示不等式的解集？该集合中的元素有什么特征？
解析：不能，但是可以看出，这个集合中的元素满足特征：
（1）集合中的元素都小于10；（2）集合中的元素都是实数.
这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，写作：.
问题9 奇数集怎么表示？偶数集怎么表示？有理数集怎么表示？
奇数集可以表示为，
偶数集可以表示为，
有理数集可以表示为.
问题10 通过以上问题总结归纳出描述法的概念.
描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.
显然，对于任何，都有，且成立.
例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1）方程的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
解：（1）设，则x是一个实数，且.因此，用描述法表示为.
方程有两个实数根，因此，用列举法表示为.
（2）设，则x是一个整数，即，且.因此，用描述法表示为.
大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}.
问题11 列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？
答案：列举法是把每个元素一一列举出来，非常直观明显地表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.
（三）课堂练习
1.下列对象不能构成集合的是（ ）
①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体.
A.①② B.②③ C.①②③ D.①③
答案：D
解析：研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性.①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大高中数学教案”没有明确的界限，故选D.
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