教师辅导教案
学员姓名：高一预科小班学科教师：
年级：高一辅导科目：数学
授课日期
年月日
时间
主题
集合的概念及运算
知识点一集合及其表示方法
1、集合：能够确切指定的对象集在一起组成的整体叫做集合。
元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
2、集合的表示方法
3、集合的分类
例题讲解：
4、观察下列实例： 
1 小于11的全体非负偶数；②整数12的正因数；
③抛物线图象上所有的点；④所有的直角三角形；
⑤高一（1）班的全体同学；⑥班上的高个子同学；回答下列问题：
1 些对象能组成一个集合.⑵用适当的方法表示它.高中数学教案⑶指出以上集合哪些集合是有限集.
5、用适当的方法表示以下集合：
⑴平方后与原数相等的数的集合；⑵设为非零实数，可能表示的数的取值集合；
⑶不等式的解集；⑷坐标轴上的点组成的集合；
⑸第二象限内的点组成的集合；⑹方程组的解集。
课堂练习：
1、下列给出的对象中，能表示集合的是()
A、一切很大的数B、无限接近零的数
C、聪明的人D、方程x2=2的实数根
2、用适当的方法表示下列集合：
(1)平方后仍等于原数的数集
(2)方程的解集
(3)使得函数有意义的实数的集合
（4）方程组的解集该
（5）方程的解集
3、方程的解集可表示为_____________________
4、用列举法表示不等式组的整数解集合为____________.
6、方程的解集中含有_________个元素。
知识点二集合的符号表示
1集合用大写字母表示，集合中的元素用一个小写字母表示。
2如果是集合的元素，就说属于集合，记作：a∈A
如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作：a
3常用数集符号：
非负整数集（或自然数集）N：正整数集：整数集：有理数集Q：实数集R：空集：
例题讲解：
4用符号填空：
⑴0；；0；；；。
2 ；；；
5给出下列关系：（１）（２）（３）（４）
其中正确的个数为            （        ）
Ａ．１个        Ｂ．２个        Ｃ．３个            Ｄ．４个
6说出下列集合的含义
(1)
（2）
(3),,
（4）A=｛x|x>3｝,B={y|y>3}
7.已知集合A=，试用列举法表示集合A.
课堂练习：
1.用符号填空：
___;___;___
;;
2、设A={a},则下列各式正确的是（）
A、B、C、D、a=A
3、给出下列关系：
（１）｛０｝是空集；（２）（３）集合
（４）集合。其中正确的个数为            （        ）
Ａ．１个        Ｂ．２个        Ｃ．３个            Ｄ．０个
4、集合{}的另一种表示法是（）
A、{0，1，2，3，4}B、{1，2，3，4}
C、{0，1，2，3，4，5}D、{1，2，3，4，5}
5、由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（）
A、{x|-3<x<11,}B、{x|-3<x<11}
C、{x|-3<x<11,x=2k,}D、{x|-3<x<11,x=2k,}
6、设集合A={(x,y)|x+y=6,}，使用列举法表示集合A。
知识点三集合元素的性质
1.元素的确定性集合中的没一个元素都是确定的，不能出现模棱两可的元素。
2.元素的互异性集合中的任何两个元素不能相同。
3元素的无序性集合中的元素没有先后之分。
例题讲解：
5.含两个元素的数集中，实数满足的条件是。
6．已知求
7、已知集合A={}只有一个元素，
试求实数k的值，并用列举法表示集合A。
8、已知集合，若，则实数取值集合为_____
课堂练习：
1高个子的同学2附近的数等等不能构成集合。
2.求集合中实数a的取值范围。
3.下列表示同一集合的是（）
A．
B．
C．
D．
4．已知集合
⑴若中只有一个元素，求及；⑵若求的取值范围。
5.已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围，
6.已知集合，若1A，求实数a的值
学员姓名：高一预科小班学科教师：
年级：高一辅导科目：数学
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主题
知识点四集合的子集
1、子集：对于两个集合与，如果集合中的每一个元素都是集合的元素，我们就说集合包含于集合，或集合包含集合。也说集合是集合的子集。
即：若“”则。
子集性质：（1）任何一个集合是它本身的子集；（2）空集是任何集合的子集；
（3）若，，则AC
集合相等：对于两个集合与，如果集合的每一个元素都是集合的元素，同时集合的每一个元素都是集合的元素，我们就说=。
即：若，同时，那么。
例题讲解：
2．写出N，Z，Q，R的包含关系，并用韦恩图表示
3．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A?B，A?C.则集合A的个数是________．
4.设集合，若，求的值.
5.已知集合，，若，求实数的取值范围.
6.已知集合A={－3，4}，B={x|x2－2px＋q=0}，B≠φ，且BA，求实数p，q的值．
课堂练习：
1.填空：Φ___{0}，0Φ，0{（0，1）}，
（1，2）{1，2，3}，{1，2}{1，2，3}
2．已知集合A＝{1,2，x}，B＝{1,2，x2}且A＝B，求实数x的值．
3．已知集合：A＝{x|－1＜x≤5}，B＝{x|m－5≤x≤2m＋3}且AB，求实数m的取值范围．
知识点五真子集
1、真子集：对于两个集合与，如果，并且≠，我们就说集合是集合的真子集。
性质：（1）空集是任何集合的真子集；（2）若，，A。
2、易混符号：
①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合
例题讲解：
3、子集的个数：
（1）空集的所有子集的个数是个（2）集合{a}的所有子集的个数是个
（3）集合{a,b}的所有子集的个数是个（4）集合{a,b,c}的所有子集的个数是个
猜想：(1){a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？(2)的所有子集的个数是多少？
结论：含n个元素的集合的所有子集的个数是，
所有真子集的个数是，非空子集数为，非空真子集数为。
4.已知集合，,则（）
A.B.
C.D.与关系不确定
5.已知集合，若，则实数的取值范围是
6、已知，，求的值.
课堂练习：
1.判断下列写法是否正确：ΦA②ΦA③④AA
2、集合的真子集个数是（）
（A）16（B）8（C）7（D）4
3.已知集合，则（）
A.B.
C.D.
4．写出满足{a，b}?A?{a，b，c，d，e}的所有集合A.
5.已知集，满足，则（）
A.B.
C.D.
6.已知集合，集合，若,a=_____
7.已知，，
.求:(1).使的的值;(2).使.
知识点五集合的全集补集
1、全集：如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示。
2、补集：设是一个集合，是的子集，由中所有不属于的元素组成的集合，
叫做中子集的补集。即：{x│x∈S,x不属于A}
性质：A；；S。
例题讲解:
3.若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求CSA。
4、已知全集U＝R，集合，求CA
5、已知全集，，若，则的取值范围是（） 
，，，　
6、设全集，已知集合满足M=CUN，N=CUP，则与的关系是（）
（A）M=CUP，（B）M=P，（C）MP，（D）MP.
7．已知全集，是否存在实数a、b，使得
课堂练习：
1、已知全集U，A是U的子集，是空集，B＝CUA，则CU=，CUU=CUB=。
2、已知：，，，讨论A与CB的关系
3、已知，，如果CUA＝｛－1｝，那么的值为  。
4、集合Ｕ=｛（x，y）|x∈｛1,2｝,y∈｛1,2｝｝,
Ａ=｛（x，y）|x∈N*,y∈N*,x+y=3｝，求CUA.
5.设全集若,求、.
作业2
1．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是(  )
A．5B．6    C．7D．8
2．在下列各式中错误的个数是(  )
①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}{0,1,2}；
④{0,1,2}＝{2,0,1}
A．1B．2C．3D．4
3．下列说法：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若??A，则A≠?.其中正确的有(  )
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，则实数m＝________.
5.设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱<4｝，则（）
（A）（B）（C）（D）
6．已知，则的关系是（）
    A．B．C．M∩P=D．MP
7．设求，
8．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A?B，求实数a的取值集合．
9．若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N?M，求实数a的值．
10.集合,
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主题
集合的交集与并集
（一）教学目标：
教学重点：交集与并集，全集与补集的概念.
教学难点:理解交集与并集的概念，符号之间的区别与联系；会求给定子集的补集，
用文氏图表达集合的关系及运算；．
（二）探究新知
⒈并集⑴一般地，由所有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿组成的集合，
称为集合与的并集，记作＿＿＿＿，读作＿＿＿＿，
即____________________________________．Venn图：
⑵根据并集的定义，试确定下列集合间的关系：
  ；  ，  ．
　，　．
⒉交集⑴一般地，由＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的所有元素组成的集合，称为集合与的交集，记作＿＿＿＿，读作＿＿＿，
即____________________________________．Venn图：
⑵根据交集的定义，试确定下列集合间的关系：
  ；　，　．
　，．
3.全集：一般地，如果一个集合＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作＿＿＿＿．
4．补集：对于一个集合A，由全集中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿所有元素组成的集合，称为集合相对全集的补集，简称为集合的补集，记作＿＿＿＿，
U
A
Venn图：
⑵试用Venn图表示下列集合（用阴影）：
①②
U
U
U
U
A
B
A
B
③④
A
B
B
A
⑶请根据补集的定义填空：
①=  　；②=  　；
③=  　；
④=　；⑤　．
说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念
（三）理解运用新知
例题讲解：
例1设A={x|x是小于9的正整数}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}，求，．
例2设，，则A∩B=
例3已知集合，．
求，，，
例4、已知全集I={小于10的正整数}，其子集A、B满足，，.求集合A、B
例5集合且，求实数a的取值范围。
课堂练习：
1.设那么等于（）.
A．        B．C．    D．
2.已知集合U=，，那么集合（）.
A.B.
C.D.
3.设，则等于（）.
A.{0,1,2,6}  B.{3,7,8,}C.{1,3,7,8}  　D.{1,3,6,7,8}
4.设集合,则（）
A．B．
C．D．
5.设为全集，下列说法中不正确的是
    A.若，则
    B.若，则
    C.若，则
    D.若，则
6.若集合，，则
7.设集合小于的正整数，，，，则_________，__________
8.若关于x的方程x2+px－2=0的解集为A，方程x2－7x+q=0的解集为B，且A∩B={2}，求.
作业：1、设，，求AB=。
2、设，，求AB=。
3、设，求AB=；AB=。
4、设集合，，又AB={9},
求实数的值.
5．已知则=
6、已知集合,，求A∩B,A∪B．
7已知,，
(1)当时，求实数的取值范围；(2)当时，求实数的取值范围．
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主题
不等式的基本性质
学习目标：1.理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质;
2.掌握比较两个实数大小的一般步骤
知识点一：实数的运算性质与大小顺序的关系
数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知：
结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
例题讲解：
例1若，试比较与的大小；
例2设，，且且a,b为正整数，试比较与的大小.
课堂练习：
1比较（a+1）2与a2-a+1的值的大小
知识点二：不等式的基本性质
⑴对称性：；
⑵传递性：；
⑶同加性：；
推论：同加性：；
⑷同乘性：，；
推论1：同乘性：；
推论2：乘方性：；
推论3：开方性：；
推论4：可倒性：.
例题讲解：
例1若，，则下列命题中能成立的个数是()
；；；
1234.
例2若满足≤≤，≤≤，求的取值范围.
例4已知，求证：
课堂练习1：
5.设且，比较与的大小
作业：
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主题
不等式及其解法
知识点一区间的概念
研究函数常用到区间的概念。设a、b是两个实数，且a<b，我们规定：
（1） 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
（2） 满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）;
（3） 满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b），（a,b]。
实数a、b都叫做相应区间的端点，在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，实心和空心据有无等号确定。实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们还可以把满足x≧a,x≦b,x<b的实数x的集合分别表示为[a,+∞]、（a,+∞）、(-∞,b)、(-∞,b)。
注意：根据区间的概念，任何一个区间都表示一个集合。
例题讲解
1、把下列数集转化为区间（1）（2）（3）
课堂练习
1、把下列数集转化为区间（4）（2）（3）
知识点二一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式
(1)一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式：
①ax2+bx+c＞0(a＞0);②ax2+bx+c＜0(a＞0).
2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表
判别式
二次函数
（）的图象
3、解一元二次不等式步骤：
1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）
2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）
3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向）
例1：
1、2、3、
4、5、6、
7、8、9、10、
例2：不等式的解集为，则实数的取值范围为；
例3：．若不等式的解集则值是()
知识点三：不等式的解法----穿针引线法
我们先研究不等式(x-1)(x+4)＜0.与(x-1)(x+2)(x-3)＞0的解法
解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-∞，-4），（-4，1），（1，+∞）.
②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号：
（-∞，-4）
（-4，1）
（1，+∞）
x+4
x-1
(x-1)(x+4)
所以不等式的解集为：
同理：
列表如下：
（-∞，-2）
（-2，1）
（1，3）
（3，+∞）
x+2
x-1
x-3
各因式积
所以不等式的解集为：
方法:先因式分解,再使用穿根法.
注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.
步骤:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).
③数轴上方曲线对应区域使“>”成立,下方曲线对应区域使“<”成立.
例题讲解：
例2：(x+4)(x+5)2(2-x)3<0
课堂练习：
1、不等式的解集是；
2．不等式的解集为____________.
3、不等式的解集是；
4、不等式的解集是；
5、不等式的解集是；
9、已知集合，，则集合=；
10、不等式的解集为__________.
12、不等式0＜x2+x-2≤4的解集是___________.
13、若不等式对一切恒成立,则的取值范围是______________
14（x-2）2(x-3)3(x+1)＜0.(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.
知识点四：分式不等式
例1≤1
课堂练习：
课堂小结
1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义.
2.求解一般的高次不等式的解法.
特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解。
注意：①左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；
②注意边界点（数轴上表示时是“。”还是“.”）.
3.分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为(或的形式，转化为，（或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式. 
知识点五：绝对值不等式
1、含绝对值的不等式的解法：
（1）当时，，。
（2）当时，，。
2、去绝对值的三种方法：
（1）定义法：
（2）分类法：
（3）平方法：
例题讲解：
例1：解下列不等式：
(1)(2)
(3)(4)
课堂练习：
（1）(2)
（3）
知识点六、不等式中的分类讨论问题
分析引起分类讨论的三种原因
例1：
从本题中你能得到什么结论：
例2：
从本题中你能得到什么结论：
例3：
从本题中你能得到什么结论
课堂练习：
1、解关于x的不等式
（1）
（2）
（3）＜
（4）.
作业：
一.选择题:
1.已知集合,则集合等于()
A.B.C.D.
2、不等式的解集是（）
    A．B．C．D．
3、不等式的解集是，则（）
A．    B．C．D．
4、不等式的解集是（）
A．B．C．D．
5、若，则不等式的解是（）
A．B.C．或D．或
二.填空题:
6、不等式的解集是___________________________．
7、不等式的解集是______________________________．
8、不等式的解集为____________________．
三.解答题:
9、求下列不等式的解集：
； ； ．
（4）
10、 已知集合，，求，
11已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围．
12.解关于x的不等式:
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