吉林省长春兴华高中2024学年高三下学期教学质量监测（一模）数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知R 为实数集，{}2
|10A x x =-≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨
⎬⎩⎭
，则(
)A B =R
（    ）
A ．{|10}x x -<≤
B ．{|01}x x <≤
C ．{|10}x x -≤≤
D ．{|101}x x x -≤≤=或
2．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1
a d安康汉江
=（    ） A ．4
B ．3
C ．2
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D ．1
3．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、
D 、
E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=
，则51
2
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AT ES --=（    ）
A 51
+ B 51
+ C 51
RD - D 51
RC - 4．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（    ） A ．84
B ．54
C ．42
D ．18
5．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（    ） A ．
1
2
B ．
14
C ．
15
D ．
110
6．已知抛物线C ：2
4y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，
则直线l 的斜率为（    ） A ．1 B 3 C ．2
D ．3
7．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB
的长为25
4
，则AF BF =（  ） A ．2或
高三数学12
B ．3或
13
C ．4或
14
D ．5或
15
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆2
2
2
x y n +=上两个动点，且满足()2企业文化口号
*2
n n n OA OB n N ⋅=-∈，设,n n A B
到直线()10x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S m <；恒成立，则实数m 的取值范围是（    ） A ．3,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
B ．3
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
D ．3
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
9．已知集合U =R ，{}
0A y y =≥，{
}
1B y y ==，则U
A
B =(    )
A ．[)0,1
B ．()0,∞+
C ．()1,+∞
D ．[
)1,+∞ 10．已知函数()sin(2019)cos(2019)44
f x x x π
π
=+
+-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（  ）
A ．
2019π
B ．
22019
π
C ．
42019π D ．4038
π
11．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，
1log a
b 的大小关系为（  ）
A ．
1log log b a b a
a b a b >>> B ．
1log log a b
b a
b a b a >>> C ．1log log b a
b a
a a
b b >>>
D ．1log log a b
b a
a b a b >>>
12．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是(    ) A ．sin y x =π. B ．|1|y x =- C ．cos y x π=
D ．e e x x y -=+
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线1
02
x +=的距离等于________.
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2
2
:(1)1C x y +-=及点A ，设点P 是圆C 上的动点，在ACP △中，
若ACP ∠的角平分线与AP 相交于点(,)Q m n ，则22m n +的取值范围是_______. 15．已知半径为4的球面上有两点，
，球心为O ，若球面上的动点C 满足二面角
的大小为
，
则四面体
的外接球的半径为_________.
16．已知0.32log 0.2,log 0.2a b ==，则+a b ________.ab (填“>”或“=”或“<”). 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点P 在抛物线()2
20C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为
原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；
（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．
18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：的右准线方程为x ＝2，且两焦点与短轴的一个
顶点构成等腰直角三角形． （1）求椭圆C 的方程； （2）假设直线l ：与椭圆C 交于A ，B 两点．①若A 为椭圆的上顶点，M 为线段AB 中点，连接OM 并延
长交椭圆C 于N ，并且，求OB 的长；②若原点O 到直线l 的距离为1，并且
，当
时，
求△OAB 的面积S 的范围．
19．（12分）如图在直角ABC ∆中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD 的中点． （Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；
（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．
20．（12分）某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟）
，则称这个工人为优秀员工．
（1）求这个样本数据的中位数和众数；
（2）以这9个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查4名工人，求被调查的4名工人中优秀员工的数量x 分布列和数学期望．
21．（12分）设函数2()6cos 32f x x x =. （1）求(
)12
f π
的值；
（2）若,3x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，求函数()f x 的单调递减区间. 22．（10分）曲线1C 的参数方程为1cos 2
1122x y sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系
中，曲线2C 的极坐标方程为2
cos 3sin ρθθ=.
(1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
(2)若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A 、B （A 、B 异于原点），当斜率3[3]k ∈时，求
1OA OB +的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【解题分析】
求出集合A ，B ，B R
，由此能求出()R A B ．
【题目详解】
R 为实数集，2{|10}{|11}A x x x x =-=-，1
{|
1}{|01}B x x x x
==<， {|0R B x x ∴=或1}x >， (){|10}R A B x x ∴=-．
故选：C ． 【题目点拨】
本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2、A 【解题分析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【题目详解】
由136,,a a a 成等比数列得2
316a a a =⋅，即()()2
11125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得
1
4a d
=. 故选：A . 【题目点拨】
本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 3、A 【解题分析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题． 【题目详解】 解：5151
22
AT ES SD SR RD QR -+-=-==. 故选：A 【题目点拨】
九寨沟冬天本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题． 4、C 【解题分析】
根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别