北京市西城区2021—2022学年度第一学期期末试卷
高三数学
2022.1
本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题
共 40 分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）已知集合{32}A x x =-<≤，{23}B x x =-<≤，则A B =新鲜水果茶
（A ）(3,3]-（B ）(3,3)-（C ）(3,2]力和运动的关系
-（D ）(2,2]
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-（2）在复平面内，复数(12i )i z =+对应的点位于
（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限
（D ）第四象限
（3）在△ABC 中，若2a =，3b =，1
cos()3
A B +=
，则c =
（A （B ）4
（C （D ）3
（4）若双曲线2222:1x y C a b
-=的一条渐近线方程为2y x =，则双曲线C 的离心率为
（A ）
1
2
（B ）
23
（C ）
32
（D ）2
（5）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点,E F 分别是棱11,A C BC 的中点，则下列结论
中不正确．．．
的是
（A ）1//CC 平面11A ABB （B ）//AF 平面111A B C （C ）//EF 平面11A ABB （D ）//AE 平面11
B BCC
（6）已知函数1
,0,()2,0x x x f x a x ⎧<⎪
=⎨⎪ -⎩
≥的值域为R ，则实数a 的取值范围是
（A ）0a <（B ）0a >（C ）1
a ≤（D ）1
a ≥（7）已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，2
23a a =，则4S =
（A ）7（B ）8（C ）15
（D ）31
（8）已知函数()f x 的图象在区间[0,2]上连续不断，则“(0)(1)(2)0f f f ++=”是“()
f x 在[0,2]上存在零点”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（9）按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中
和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数. 为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流30A I =时，放电时间10h t =.则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为
（参考数据：lg 20.30,lg30.48≈≈）
（A ）
4
高三数学3
（B ）
53
（C ）
83
（D ）2
（10）设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为A X M m =-，若集合
中只有一个元素，规定其特征值为0.已知1A ，2A ，3A ， ，n A 是集合*N 的元素个数均不相同的非空真子集，且123120n A A A A X X X X ++++= ，则n 的最大值为
（A ）14（B ）15（C ）16
（D ）18
第二部分（非选择题
共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）在62
x
-的展开式中，常数项为_____.（用数字作答）
（12）已知点(2,4)A 在抛物线2:2C y px =上，F 为抛物线C 的焦点，O 为坐标原点.则抛
美人心计刘恒物线C 的方程为_____；AOF △的面积为_____.
（13）在长方形ABCD 中，||1AB =    ，13
BE BC =        ，且AB AE AD AE ⋅=⋅                ，则||AD =
_____，
AE AC ⋅=
_____.（14）已知函数cos(),0,
()sin ,0x x f x x x θ+⎧=⎨<⎩
≥是偶函数，则θ的一个取值为_____.
（15） 在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱111,,BB CC DD 交
于点E ,F ,G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .
给出下面有四个结论：
① 四边形AEFG 是平行四边形；② 12S S +的最大值为2；
③ 12S S 的最大值为
14
；④  四边形AEFG 可以是菱形，且菱形面积的最大值
则其中所有正确结论的序号是_____.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，4AB =，点E 在线段AB 上，且3
4
AE AB =
.
（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PBD ；（Ⅱ）求二面角P CE A --的余弦值.
（17）（本小题13分）
已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<；的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③ 这三个条件中选择两个作为已知．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）设函数()()cos(2)3
g x f x x π
=⋅+，若()g x 在区间[0,]m 上单调递减，求m 的最大值．
条件①：π2
c a -=；条件②：π3b =草绿茶福利导航
；条件③：7π
12
c =．
注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解
答计分．
（18）（本小题14分）
2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙预警，这是中央气象台2021年首次发布暴雨橙预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨.
下表是中央气象台7月13日2:00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域.
北京密云山东乐陵河北迁西山东庆云北京怀柔河北海兴河北唐山天津渤海A 平台河北丰南山东长清180毫米
175毫米
144毫米
144毫米
143毫米
140毫米
130毫米
127毫米
126毫米
126毫米
（Ⅰ）从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率；（Ⅱ）从这10个区域中随机选出3个区域，设随机变量X 表示选出的区域为北京区域的
数量，求X 的分布列和期望；
（Ⅲ）在7月13日2:00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140
毫米的区域降雨量的方差为21s ，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为22s ，全部十个区域降雨量的方差为23s .试判断21s ，22s ，23s 的大小关系.（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知函数2()e (1)x f x x ax =++.
（Ⅰ）若0a =，求()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）若()f x 在(1,1)-上恰有一个极小值点，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意(0]2
x π
∈，，2()e (cos 1)x f x x x >+恒成立，求实数a 的取值范围.