2022-2023学年度高三年级第一学期教学质量调研(一)
有声有光数学
一、选选选.本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
高三数学
1.已知{,{30}A x y B x x a ===−>∣∣,且()4,A B ∞∪=−+,则a =(    ) A.3−      B.4−      C.9−      D.12−
2.欧拉公式i e cos isin θθθ=+(其中e    2.718,i = 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式建立了三角函数与指数函数的关系,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式,下列结论中正确的是(    )
A.i e π的实部为0
B.2i e 在复平面内对应的点在第一象限
C.i e 1θ=
D.i e π的共轭复数为1
3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3562,3,4S S S 成等差数列,则数列{}n a 的公比q =(    )
A.1或12
−      B.1−或12 C.1−或2    D.1或2−
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4.若函数()y f x =在0x x =处取得极值,则称0x 是函数()f x 的一个极值点.已知函数
()sin (0)y x ωϕω=+>的最小正周期为2π,且在[]0,2π上有且仅有两个零点和两个极值点,则ϕ的值可能是(    )
A.π
B.3π
−      C.2π    D.2π
5.某同学为班级设计一个班徽,他选择从正八边形中选取素材,如图所示.厘米,则班徽的面积(图中阴影部分)为(    )平方厘米.
A.4+
B.4+
C.7
D.10
6.已知圆()()222
:(0),3,0,6,0O x y r r A B +=>−,若对于圆O 上的任意一点P ,都有23PA PB +=        ,则正数r 的取值为(    )
A.1
B.2
C.3
D.4
7.已知抛物线2:16C y x =的焦点为F ,直线()4
0x my m −−=∈R 与抛物线C 交于,A B 两点,则4AF BF +的最小值是(    )
A.40
B.36
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C.28
D.24
8.设14411,ln ,2ln sin cos 33366a b c  ===+
,则(    ) A.b a c <<      B.c a b <<
C.a c b <<
D.b c a <<
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.函数()32
3f x x x =−过点()3,0的切线方程是(    ) A.9270x y −−=
B.18540x y −−=
C.6180x y −−=
D.0y = 10.已知数列11n n n n a a a a ++  −
是公差为1的等差数列,且1211,2a a ==,则下列说法正确的有(    ) A.417
a = B.存在等差数列{}n
b ,使得其前n 项和1n n
S a = C .存在等差数列{}n c ,使得其前n 项和11n
n T a =− D.对任意的*
,01n n a ∈<≤N  11.已知圆22:20F x y y +−=,抛物线2:4C x y =,过圆心F 的直线l 与两曲线的四个交点自左向右依次记为,,,P M N Q ,若,,PM MN NQ 构成等差数列,则直线l 的方程可能是(    )
A.10x y −+=
B 10x y ⋅+−=
C 0x ⋅=
D 0x ⋅+−=
12.已知sin10a = ,则2231sin 40cos 40
−  的值用a 可以表示为(    ) A.2841a a +−      B.2421a a
+−      C.16a    D.32a  三、填空选:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知,a b  为单位向量,且,60a b =  ,若32c a b =−  ,则cos ,a c =  __________.
14.如图,在复平面内,复数12,z z 对应的向量分别是12,OZ OZ          ,若2
21zz z =,则复数z =__________.
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15.已知双曲线22:21C x y −=的左、右选点分选选,A B ,点(),P x y 是曲线C 在第一象限内图象上一点,则11
y y x x +−+的取值范围为__________. 16.对任意的[)1,x ∞∈+,不等式e ln ax a x ≥恒成立,则实数a 的取值范围为__________.
四、解答选:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、选明选程或演算步选.想你的说说
17.(10分)在ABC �中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知
cos cos cos a b c A B C
+=+. (1)求角A 的大小; (2)若D 为线段BC 延长线上一点,且,3BA AD BD CD ⊥=
,求sin ACD ∠. 18.(12分)在条件:①()()
126n n n n S ++=;②11a =且()32n n S n a =+;③11S =且()1
3n n nS n S +=+中任选一个,补充在横线上,并求解下面问题:已知数列{}n a 的前n 项和为n S __________,
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)数列1n a
的前n 项和为n T ,求n T
19.(12分)已知双曲线22
22:1(0,0),x y C a b O a b
−=>>为坐标原点,离心率2e =,点M 在双曲线C 上
(1)求双曲线C 的方程;
(2l 过双曲线的左焦点,分别交双曲线于,P Q 两点,求OP OQ ⋅        的值,并求出POQ �外接圆的方程
20.(12分)如图,长方形ABCD 纸片的长AB 为3+,将矩形ABCD 沿折痕,EF GH 翻折,使得,A B 两
点均落于DC 边上的点P ,若EG EPG ∠θ=.
(1)当sin2sin θθ=−时,求长方形宽AD 的长度;
(2)当0,2πθ
∈    时,求长方形宽AD 的最大值.
21.(12分)已知椭圆22
:143
x y C +=的左,右顶点分别为,A B ,右焦点为F ,点P 是梛圆C
上一动点(异于,A B )点P 关于原点的对称点为Q ,连接,AP QF 并延长交于点M 连接PF 并延长交椭圆C 于点N ,记,AFM AFN ��面积分别为12,S S
(1)当P 点坐标为31,2  −    时,求12
S S 的值; (2)是否存在点P ,使得126S S =若存在,求出P 点坐标;若不存在,请说明理由.
22.(12分)已知函数()()2sin e 1,x f x a x f x π−+′=−是()f x 的导函数,且()0f π′=
(1)判断()f x 在()0,π上的单调性,并说明理由;
(2)判断函数()f x 在()()()*21,22k k k ππ  ++∈  N 内的零点个数,并说明理由.
2022-2023学年度高三年级第一学期教学质量调研(一)
数学-答案
一、选选选.本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D
【解析】{}()33,,4,,433
a a A x x B x x A B ∞  =−≤≤=>∪=−+∴=−    ∣∣, 12,a ∴=−选D.
2.【答案】C
【解析】i e cos isin 1πππ=+=−,实部为1−,A 错;
()2e cos2isin2,cos2,sin2i =+位于第二象限,B
错;