湖南师大附中、东北育才学校等八校联考2021-2022学年高三第二次T8联考
数学试题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数1i i
z =+，则z =（）
A.0
B.2i
C.-2i
D.1i
-+2.设集合(){}
2log 12A x x =-<，{}
5B x x =<，则（）
A
.A B
=  B.B A
⊆  C.A Bhip是什么意思
⊆  D.A B =∅
3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且满足10a <，39S S =.则当n S 取得最小值时，n 的值为（）
A.3
B.6
C.9
D.12
4.如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB 、AD 向外分别作正方形ABEF 、ADMN ，其中2AB =，
1AD =，4
BAD π
∠=
，则AC FN ⋅=        ()
A.
-  B.  C.0  D.1
-5.若将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭的图象分别向左平移3
π
个单位长度与向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则ϕ的最小值为（）A.
23
π  B.
2
π  C.
53
π
D.
π
6.如图，已知正四面体ABCD 的棱长为1，过点B 作截面α分别交侧棱AC ，AD 于E ，F 两点，且四面体ABEF 的体积为四面体ABCD 体积的
1
3
，则EF 的最小值为（）
A.
2
B.
2
C.
13
D.
3
7.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.
黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为()[]1,,,,
0,0,10,1q q
x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数
()f x 是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，
则()2022ln 25f f ⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
（
）
A.
15  B.
25
C.25
-
D.15
-
8.已知椭圆Γ：22
143
x y +=，过其左焦点1F 作直线l 交椭圆Γ于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B .
若G 点为PAB △的外心，则1
PA GF =（
）
A.2
B.3
C.4
D.以上都不对
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是（
）
A.若事件A 与B 相互独立，且()0P A <，()1P B <，则()
()P A B P A =B.设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，则111222P X P X ⎛
⎫⎛⎫<
=-< ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭C.在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y  而言，当样本相关系数r 越接近1时，样本数据的线性相关程度越强
D.在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y  而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好
10.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy 下的一般方程为3330x y axy +-=.某同学对1a =情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是()
高三数学
A.曲线不经过第三象限
B.曲线关于直线y x =对称
C.曲线与直线1x y +=-有公共点
D.曲线与直线1x y +=-没有公共点
11.已知a ，R b ∈，满足e e 1a b +=，则（）
A.2ln 2
a b +≤-  B.e 0
a b +<  C.1
≥ab    D.(
)222e
e 1
欲望情人a
b +≥12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是(
)
A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段
B.存在Q 点，使得1D Q ⊥平面1A PD
C.当且仅当Q 点落在棱1CC 上某点处时，三棱锥1Q A PD -的体积最大
D.若16
2
D Q =
，那么Q 点的轨迹长度为24三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在二项式8
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数=a ___________.
14.若在平面直角坐标系xOy 中，直线2x y -=与直线4x y -=分别截圆()2
2简体改繁体
2
0x y r r +=>所得弦长之
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比为3：1，则r =___________.
15.某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动.现有甲､乙､丙､丁四人，乒乓球､篮球､足球､羽毛球､网球五项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人中恰有两人参加同一活动的概率为___________.
16.已知(),01
e ,1x x x
f x x <<⎧=⎨≥⎩
，若存在210x x >>，使得()()21e f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为
___________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.如图，在直角ABC  中，角C 为直角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2c a
B a
-=
.
（1）求角B 的大小；
（2）若3c =，D 点为AB 边上一点，且1AD =，求sin BCD ∠.
18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC ===，E ，F 分别为线段1BB ，1AC 的中
点.
（1）证明：EF ⊥平面11AA C C ；（2）若二面角1C A E A --的大小为
3
π
，求1AA 的长.
19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(
)
213n n S a n *
+=∈N .
（1）求n S ；
（2）证明：当2n ≥时，3
29n n
S a +
≥.20.2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：心理价位（元/件）90100110120人数
10
20
奥巴马父亲节演讲
50
20
假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x （单位：元/件），90120x <≤，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.
（1）若100x =，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X 为这一时段该纪念品的购买人数，试求X 的分布列和数学期望()E X ；
（2）假设共有M 名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y （单位：元），当该纪念品的销售价格x 定为多少时，Y 的数学期望()E Y 达到最大值？