河南省顶级名校2022-2023学年度高三文科数学12月月考试
卷
考试时间：120分钟
满分：150分
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．设集合{}(){}22N
8120log 12A x x x B x x =∈-+<=-<∣，∣，则A B = （）
A ．{35}x x <<∣
B ．{25}x
x <<∣C ．{}
3,4D ．{}
3,4,52．已知0a >，0b >，则“1a b +≤”是
”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
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3．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D ，G ，F 在水平线DH 上，CD 和EF 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG =1，表高CD =EF =2，后表却行FH =3，表距DF =61.则塔高AB =（
）
A ．60米
B ．61米
C ．62米
D ．63米
4．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()32-f x 为偶函数，()21f x -为奇函数，则下列说法正确的是（）
A ．函数()f x 的周期为2
B ．函数()f x 关于直线=1x -对称
C ．函数()f x 关于点()1,0-中心对称
D ．()20231
f =5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱
1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（
）
A
．
9
B
．
6
C ．
579
D ．
306
6．在平行四边形ABCD 中，E ､F 分别在边AD ､CD 上，3AE ED =，,DF FC AF =与BE 相交于点G ，记,AB a AD b ==          ，则=
AG （
）
A ．341111a b
+  B ．631111a b
+
C ．451111a b
+  D ．361111
a b
+  7．一个几何体的三视图如图，它们为一个等腰三角形，两个直角三角形，则这个几何体的外接球表面积为（
）
A ．12π
B ．16π
C ．20π
D ．24π
8．()()22sin cos 2sin 218f x x x x m π⎛
⎫=+--+- ⎪⎝
⎭在[0,]2π上有两个零点1x ，2x ，
则12sin()x x +=（）A ．5
徐
5B ．255
C 5
D 259．已知正四棱锥P ABCD -的侧棱长为(0)a a >，则该正四棱锥体积的最大值为（）
A ．
3
239
a B ．
3
439
a C ．
3
2327
a D 3所见 清 袁枚
4310．已知ABC  中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，ABC  的面积为S ，若()223sin 2sin sin sin 2sin sin B C A A B C +=+，则2S
达观b
的值为（
）
A ．
1
4
B ．1
2
C ．1
D ．2
11．已知函数()ln 1e ax
x
f x x ax =+--有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）
A ．10,e ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
B ．()0,1
C ．[]0,1
D ．1,e ⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭12．已知sin12cos1a =+，13b =，1
tan 3
c =，则（
）
A ．c b a
>>B ．a c b >>C ．a b c
>>D ．c a b
>>二、填空题（每小题5分，全科免费下载《高中僧课堂》共20分）
13．若,x y 满足约束条件0
201x y x y x +≥⎧⎪
-≥⎨⎪≤⎩
，则23z x y =+的最大值为__________.
14．已知圆的圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)，则圆的一般方程为________________.
15．已知ABC  的所有顶点都在球O 的表面上，1,120AB AC BAC ∠=== ，球O 的体积为
32π
3
，若动点P 在球O 的表面上，则点P 到平面ABC 的距离的最大值为__________.
16．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动
点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题
:
①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值;②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ;
③对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG ∥平面1EBD ;④存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值.其中真命题的是_____________.（填写所有正确答案的序号）三、解答题（17题10分，其余每小题12分，共70分）
17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足433n n S a +=.
(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．已知在ABC  中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且2cos sin sin 22b A B a B ππ⎛⎫⎛⎫
-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
(1)求B ；(2)设点D 是边AC 的中点，若6a c +=，求BD 的取值范围.
19．如图，在几何体ABCDE 中，AD ⊥平面ABE ，//AD BC ，2AD BC =，AB BE =.
(1)证明：平面DCE ⊥平面DAE ；(2)若1AB =，AE =
ABCE 的体积为1
3
，
求直线CE 与平面DAE 所成角的正弦值.20．已知函数()sin f x x ax =-，R a ∈．(1)若2a =，求曲线()y f x =在点,
6
6f π
π⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程；(2)若()f x a ≥在5,66x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立，求实数a 的取值范围．
21．如图，△ABC 是正三角形，在等腰梯形ABEF 中，AB EF ∥，1
2
AF EF BE AB ===.平面ABC ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AF ，CE 的中点，4CE =.
(1)证明：//MN 平面ABC ；(2)求三棱锥N －ABC 的体积.
22．已知0a >，函数()()1
e ln x
f x a ax -=-．
(1)当1
2e
a =
时，讨论()f x 的单调性；(2)若曲线()y f x =与直线1y =有且只有一个公共点，求a .
12月月考试卷参考答案
1．C 【详解】由28120x x -+<，得
()()260x x --<，解得26x <<，
所以{}}{N
263,4,5A x x =∈<<=∣，由()2log 12x -<，得()22log 1log 4x -<，解得15x <<，所以{}15B x
x =<<∣，所以}{{}{}3,4,5153,4A B x x ⋂=⋂<<=∣，
2．A 【详解】充分性：∵0a >，0b >，1a b +≤，212a b +≤
≤，当且仅当1
2a b ==时，
等号成立，∴211222a b =++≤+⨯=，当且仅当
1
2a b ==
时，等号成立，∴+
必要性：当1a =，
1
16b =
成立，但1a b +≤不成立，即必要
性不成立，所以“1a b +≤”是”的充分不必要条件．3．D 【详解】解：根据题意，CDG ABG ∽△△，EFH ABH  ∽，所以
中学教师专业标准2
2,1643
AB AB BD BD ==++，解得63AB =．4．C 【详解】∵()
32-f x 为偶函数，∴
()()
3232f x f x --=-，∴
()()
22f x f x --=-，
故
()()2222f x f x ⎡⎤----=---⎣⎦即()()4f x f x =--，∴函数()f x 的图象关于直线2
x =-对称.∵
()
21f x -为奇函数，∴
()()
2121f x f x --=--，
∴()()11f x f x -=---，所以函数的图象关于点()1,0-对称，故B 错误，C 正确；由()()4f x f x =--及()()11f x f x -=---知，()()()42f x f x f x =--=---，∴()()24f f x x -=--，∴()()4244f f x x =-++--，即()()2=-+f x f x ，∴()()24f x f x +=-+，故()()4f x f x =+∴函数()f x 的周期为4，A 错误，
()()()20235064110f f f =⨯-=-=，故D 错误.
5．A 【详解】如图，在棱1CC 上取一点F ，使得
14CC CF =，取1CC 的中点M ，连接
BM ,1,DF A F ，由于,M E 分别是棱11,CC BB 的中点，所以11,//BE C M BE C M =，故四边形
1BMC E 为平行四边形，进而1//C E BM ,
又因为,D F 是,BC CM 的中点，所以//DF BM ，所以1//DF C E ，则1A DF ∠或其补角是异面直
线1A D 与1C E 所成的角.
设2AB =
，则11,3,CF C F AD CD ====高三数学
从而11DF A D A F =====
=
故1cos A DF ∠=
=，故异面直线1A D 与1C E
所成角的余弦值是9
.6．D 【详解】过点F 作FN 平行于BC ，交BE 于点M ，因为DF FC =，则F 为DC 的中点，所以MN  AE 且1133
2248
MN AE AD AD ==⨯=，因为NF AD =，所以35
88
MF NF MN AD AD AD =-=-=，
由AEG FMG    可得：AE AG
FM FG
=，所以
364558
AD
AG AE FG FM AD ===，因为666136()()11111121111AG AF AD DF AD AB AB AD ==+=+=+
，
所以361111
AG a b =+
，
7．C
【详解】由三视图还原原几何体的直观图如下图所示：
可以该几何体为三棱锥A BCD -，其中AB ⊥平面BCD ，2AB =
，BD CD BC ==，所以，BCD △为等边三角形，
如下图所示：