2023届高三综合测试
数学参考答案
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
0分。
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。  13．10x y −−= （写成1y x =−亦可）      14．42
15
16．3(1)2
n n −−
四、 解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）()1cos o 62c s 2sin 2πf x x x x x x ωωωωω⎫⎛
⎫=−=−=−⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， …1分 因为函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，
所以12T π=，则2πT =，所以22π
πT ω
=
高三数学
=，解得1ω=， 所以()n 62si πf x x ⎛
⎫=− ⎪⎝
⎭．
……3分 由22262k x k πππ
ππ−+≤−≤+，k Z ∈，解得
22233
黄鳝吃什么k x k ππππ−+≤≤+，k Z ∈ 因此()f x 的单调增区间是22,233k k ππππ⎡⎤
−++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈.  ……5分 （2）由()2sin 6πf x x ω⎛⎫=− ⎪⎝⎭，函数()f x 的图象关于,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，
所以
26πππk ω−=，Z k ∈，所以1
23
k ω=+，Z k ∈， ……7分 由,30πx ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，0ω>，则,
6636ππππx ωω⎡⎤−∈−−⎢⎥⎣⎦， 又函数()f x 在0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调，所以2036πππ
ωω⎧−≤⎪⎨⎪>⎩，解得02ω<≤， ……9分 由10223
k <+≤解得0k =，此时1
3ω=.
…
…10分
18.解：（1）当1n =时，1124S <<.
……1分 又因为n a Z ∈，所以11a =.
依题意，2(1)(1)n n n n d n <+−<+，……3分 得2
(1)20(1)10d n d d n dn −+−<⎧⎨−−−<⎩恒成立 ……4分 解得1d =， ……5分 所以，n a n =.
……6分
（2）2
n n n
b =
12323411232222
112322222
n n n n n T n T +=++++=++++①
②
①-②，得12311111112
12222222n n n n n n T +++=++++−=−
……9分 即2
222
n n n T +=−<
……10分
1,22n n n =<+时，[]0n T =;
12
(1)2,21122
n n n n n n C C n n +≥≥++=++≥+时，[]1n T =，
所以2019M =.
……12分
19.解：（1）70%地满足顾客需求相当于估计某类水果日销售量的70%分位数.  ……1分 由表可知，把50个日需求量的数据从小到大排列，
由70%5035⨯=，日需求量在24箱以下的天数为10101535++=，
可知，日需求量的样本数据的第35项数据为24，第36项数据为25，          因此，可以估计日需求量的第70%分位数为
2425
24.52
+=，                ……3分 所以能70%地满足顾客的需求，估计每天应该进货量为24.5箱.
……4分 （2）由（1）知2424.5<25t ≤=，即024n =                              设每天的进货量为24箱的利润为X ，
由题设，每天的进货量为24箱，当天卖完的概率为3
5，当天卖不完剩余1箱的概率15
，当
天卖不完剩余2箱的概率1
5
，
若当天卖完24(10050)1200X =⨯−=元，
若当天卖不完剩余1箱23(10050)1301120X =⨯−−⨯=元，
若当天卖不完剩余2箱22(10050)2301040X =⨯−−⨯=元，                  ……6分
所以31
()1200(11201040)115255
E X =⨯+⨯+=元.
……7分 设每天的进货量为25箱的利润为Y ，
由题设，每天的进货量为25箱，当天卖完的概率为310，当天卖不完剩余1箱的概率3
10
，
毕业生自我评价当天卖不完剩余2箱的概率15，当天卖不完剩余3箱的概率1
5
，
若当天卖完25(10050)1250Y =⨯−=元，
当天卖不完剩余1箱24(10050)1301170Y =⨯−−⨯=元， 当天卖不完剩余2箱23(10050)2301090Y =⨯−−⨯=元，
当天卖不完剩余3箱22(10050)3301010Y =⨯−−⨯=元，                ……9分
所以31
()(12501170)(10901010)1146105
E Y =
⨯++⨯+=元， ……10分
由于()()E Y E X <，
显然每天的进货量25箱的期望利润小于每天的进货量为24箱的期望利润， 所以店老板应当购进24箱.  ……12分
20.（1）证明：连接,BD 在正方形ABCD 中BD AC ⊥, 又PA ⊥平面ABCD ，故PA BD ⊥ 而,PA AC 是平面PAC 上的两条相交直线，
所以BD ⊥平面PAC                            ……2分 在PBD △中，EF 为中位线，故//EF BD          ……3分 所以EF ⊥平面PAC . 又EF ⊂平面EFG ，
所以平面EFG ⊥平面PAC                                              ……5分 （2）以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立如图空间直角坐标系A xyz −， 则()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,2,0,1,0,1,0,1,1A B C P D E F ，
()()1,0,1,0,1,1AE AF ==，                                          ……7分
设平面AEF 的一个法向量为()111,,m x y z =， 则00AE m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111
00x z y z +=⎧⎨+=⎩，
取()1,1,1m =−，                        ……8分
设1
(01
)2
PG PC λλλ=<<≠，， 则()()()0,0,22,2,22,2,22AG AP PG AP PC λλλλλ=+=+=+−=−
则3
sin cos ,1m AG θ==
=
， 整理得212810λλ−+=，解得16λ=或1
2
λ=（舍去），                    ……10分 故16PG PC =，故G 到平面PAB 的距离1
1
63
h BC ==,
故1
26
EBG S BE h =
⋅=
△
茂名美食因为(1,0,1)(0,1,00AE BC ⋅=⋅=），所以AE BC ⊥ 又(1,0,1)(2,0,20AE BP ⋅=⋅−=），所以AE BP ⊥， 又BP
BC P =，所以EA ⊥平面PBC ，
故A 到平面BEG
的距离为EA =
三棱锥E ABG −
体积为111
3369
E ABG A EBG EBG V V S EA −−==
⋅=⨯=△.    ……12分 21.解：（1）因为12PF F ∆的周长等于22a c +为定值,
所以内切圆半径最大时，即12PF F ∆的面积最大，此时点P 为椭圆的上（下）顶点……1分
可得
1(22)2a c bc ⋅+=； ……2分 又因为2
3
c e a ==，222c a b =+
，解得3,2,a c b ===
……3分 所以椭圆E 的方程为22
195
x y +=；
……4分
（2）（法一）设点
由条件可知直线l 的斜率0k ≠， 设点1122(,),(,)P x y Q x y ，
由22(1)19
5y k x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(59)189450k x k x k +−+−=
所以22121222
18945
,5959k k x x x x k k
−+==++（*） ……5分
由（*）可得
21212122
925
(2)(2)2()459k x x x x x x k −−−=−++=
+①                    ……6分
122112212
70(2)(2)(1)(2)+(1)(2)59k
y x y x k x x k x x k
−−+−=−−−−=
+②      ……7分 2
2
菠萝蜜的籽可以吃吗
1212122
40[()1]59k y y k x x x x k
−=−++=+ ③                        ……8分
由对称性，不妨令点M 位于第四象限，
设直线2PF 的倾斜角为α，直线2QF 的倾斜角为β，直线2F M 的倾斜角为γ， 则1212tan ,tan ,tan 22
y y
m x x αβγ=
==−−
又2F M 在2PF Q ∠的角平分线所在的直线上，则
tan()tan()tan()γαπγββγ−=−+=−
可得出12
1212
1222
1122y y m m
x x y y m m
x x −
−−−=++−− ……9分
化简得2121212121212()2(1)()=0222222
y y y y y y
m m x x x x x x ++−−+−−−−−−
即[]2
122112121221[(2)(2)]2(2)(2)[(2)(2)]0y x y x m x x y y m y x y x −+−+−−−−−+−= 将①②③式代入上式得：2
2
35(4925)350km k m k −+−+=
……10分 则(75)(57)0km m k +−+=，解得57,()75
k
m m k =−
=舍去 ……11分
故直线2F M 方程为5(2)7y x k =−−，令9x =得点5
(9,)M k
−
则5'9k k =−，故5
'9
失恋了该怎么办
kk =−为定值.
……12分
【法二】设线
由条件可知直线l 的斜率0k ≠，
设直线2PF 的斜率为1k ，直线2QF 的斜率为2k ，直线2F M 的斜率为m ， 直线:(2)1l x ny −−+=，其中1k n
=
由22195
x y +=得225[(2)2]945x y −++= 即()[][]2
2
2
95220(2)(2)25(2)0y x x x ny x ny +−+−−−+−−−+=
整理得222
(925)70(2)40(2)0n y n x y x −+−−−=
……6分
即2
2(925)7040022y y n n x x ⎛⎫
−+−= ⎪
−−⎝⎭
令
2
y
k x =−，则22(925)70400n k nk −+−=，其中12k k ，为方程的根