高三数学函数试题答案及解析
膺的读音1. 一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知如图是“优美图”，则点A，B与边a所对应的三个数分别为________．
【答案】3、6、3
【解析】观察图中编号为4的边，由于6－2＝5－1＝4，而数字2已为一端点的编号，故编号为4的边的左、右两端点应为5、1，从而易知编号为1的边的左、右两端点应为4、3.考虑到图中编号为1的边，易知点A对应的数为3，点B对应的数为6.故应填3、6、3.
2. 对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数．例如，[π]＝3，[－1.08]＝－2.如果定义函数f(x)＝x－[x]，那么下列命题中正确的一个是( )
【答案】3、6、3
【解析】观察图中编号为4的边，由于6－2＝5－1＝4，而数字2已为一端点的编号，故编号为4的边的左、右两端点应为5、1，从而易知编号为1的边的左、右两端点应为4、3.考虑到图中编号为1的边，易知点A对应的数为3，点B对应的数为6.故应填3、6、3.
2. 对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数．例如，[π]＝3，[－1.08]＝－2.如果定义函数f(x)＝x－[x]，那么下列命题中正确的一个是( )
A．f(5)＝1 |
B．方程f(x)＝有且仅有一个解 |
C．函数f(x)是周期函数 |
D．函数f(x)是减函数 |
【答案】C
【解析】f(5)＝5－[5]＝0，故A错误；因为f()＝－[]＝，f()＝－[]＝，所以B错误；函数f(x)不是减函数，D错误；故C正确．
3. [2012·江苏高考]已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
【答案】9
【解析】通过值域求a，b的关系是关键．
由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋)2＋b－.
∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.
∴f(x)＝(x＋)2.
又∵f(x)＜c，∴(x＋)2＜c，
即－－＜x＜－＋.
∴
【解析】f(5)＝5－[5]＝0，故A错误；因为f()＝－[]＝，f()＝－[]＝，所以B错误；函数f(x)不是减函数，D错误；故C正确．
3. [2012·江苏高考]已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
【答案】9
【解析】通过值域求a，b的关系是关键．
由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋)2＋b－.
∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.
∴f(x)＝(x＋)2.
又∵f(x)＜c，∴(x＋)2＜c，
即－－＜x＜－＋.
∴
②－①，得2＝6，∴c＝9.
4. 下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
4. 下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| | B．f(x)＝x－|x| |
C．f(x)＝x＋1 | D．f(x)＝－x |
高考如何查分【答案】C
【解析】若f(x)＝|x|，则f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；若f(x)＝－x，则f(2x)＝－2x＝2f(x)；若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，不满足f(2x)＝2f(x)．
5. （3分）（2011•重庆）已知，则a=（ ）
【解析】若f(x)＝|x|，则f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；若f(x)＝－x，则f(2x)＝－2x＝2f(x)；若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，不满足f(2x)＝2f(x)．
5. （3分）（2011•重庆）已知，则a=（ ）
A．1 | B．2 | C．3 | D．6 |
【答案】D
高三数学【解析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．
解：原式=
=（分子分母同时除以x2）
=
==2
∴a=6
故答案选D．
点评：关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．
6. 如果函数在上的最大值和最小值分别为、，那么.根据这一结论求出的取值范围（ ）.
高三数学【解析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．
解：原式=
=（分子分母同时除以x2）
=
==2
∴a=6
故答案选D．
点评：关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．
6. 如果函数在上的最大值和最小值分别为、，那么.根据这一结论求出的取值范围（ ）.
A． | B． | C． | D． |
【答案】B
【解析】函数在区间上最大值为1，最小值为，即，所以，，即取值范围为，选B.
【考点】新定义概念与函数的最值.
7. 设函数，其中，为正整数，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.
（1）求，，的值；
（2）求函数的最大值；
（3）证明：对任意的都有公司春节放假通知.（为自然对数的底）
【答案】（1）;（2）;（3）见解析.
【解析】（1）在切点处的的函数值 ，就是切线的斜率为，可得；根据切点适合切线方程、曲线方程，可得，.
（2）求导数，求驻点，讨论区间函数单调性，确定最值.
（3）本小题有多种思路，一是要证对任意的都有只需证；
【解析】函数在区间上最大值为1，最小值为，即，所以，，即取值范围为，选B.
【考点】新定义概念与函数的最值.
7. 设函数，其中，为正整数，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.
（1）求，，的值；
（2）求函数的最大值；
（3）证明：对任意的都有公司春节放假通知.（为自然对数的底）
【答案】（1）;（2）;（3）见解析.
【解析】（1）在切点处的的函数值 ，就是切线的斜率为，可得；根据切点适合切线方程、曲线方程，可得，.
（2）求导数，求驻点，讨论区间函数单调性，确定最值.
（3）本小题有多种思路，一是要证对任意的都有只需证；
二是令，利用导数确定，
转化得到．
令，证明．
（1）因为， 1分
所以小程序在哪里打开 ，又因为切线的斜率为，所以 2分
，由点（1,c）在直线上，可得，即 3分
4分
（2）由（1）知，，所以
令，解得，即在（0，+上有唯一零点 5分
当0<<时，，故在（0，）上单调递增； 6分
当>时，，故在（，+上单调递减； 7分
在（0，+上的最大值=== 8分
（3）证法1：要证对任意的都有只需证
由（2）知在上有最大值，= ，故只需证 9分
，即 ① 11分
转化得到．
令，证明．
（1）因为， 1分
所以小程序在哪里打开 ，又因为切线的斜率为，所以 2分
，由点（1,c）在直线上，可得，即 3分
4分
（2）由（1）知，，所以
令，解得，即在（0，+上有唯一零点 5分
当0<<时，，故在（0，）上单调递增； 6分
当>时，，故在（，+上单调递减； 7分
在（0，+上的最大值=== 8分
（3）证法1：要证对任意的都有只需证
由（2）知在上有最大值，= ，故只需证 9分
，即 ① 11分
令，则，①即 ② 13分
令，则
显然当0<t<1时，，所以在（0，1）上单调递增，
所以中通总部，即对任意的 ②恒成立，
所以对任意的都有 14分
证法2：令，则． 10分
当时，，故在上单调递减；
而当时，，故在上单调递增．
在上有最小值，．
，即. 12分
令，得，即，所以，即.
由（2）知，，故所证不等式成立． 14分
【考点】导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性、最（极）值、证明不等式，转化与化归思想，分类讨论思想，应用导数研究恒成立问题.
令，则
显然当0<t<1时，，所以在（0，1）上单调递增，
所以中通总部，即对任意的 ②恒成立，
所以对任意的都有 14分
证法2：令，则． 10分
当时，，故在上单调递减；
而当时，，故在上单调递增．
在上有最小值，．
，即. 12分
令，得，即，所以，即.
由（2）知，，故所证不等式成立． 14分
【考点】导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性、最（极）值、证明不等式，转化与化归思想，分类讨论思想，应用导数研究恒成立问题.
8. 对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
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