高三数学原创题
原创题1
[题目]质地均匀的正方体木块的棱长为n,n为正整数且n≥2.在其表面涂上与材质颜不同的蓝后将木块分割成棱长为1的小正方体木块,假设从中任意取一块得到表面有蓝的木块的概率为P,请研究P能否大于或小于.
[解答]:
当n=2时, P=1;
当n≥3时,有P=,
P-=.
记y=g(x)=, x>2.
g′(x)=,
可知在(2,+∞)上y= g(x)只有一个极大值点x=,
所以函数y= g(x)在(2,)上是增函数;在(,+∞)上是减函数.
又验证g(3)>0, g(9) >0, g(10)<0,
于是我们得到结论:当正整数2≤n≤9时, P>;当正整数n≥10时, P<.
[金山寺在哪里说明] 本题考查概率、导数、不等式的有关知识.由江苏海安高级中学游余祥命题,难度系数预计0.65.
原创题2
[题目]设定义在[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,C的端点为点A、B,M是C上的任意一点,向量=( x1,y1), =( x2,y2), =(x,y),若x= x1+(1-) x2,记向量=工作流程怎么写+(1-).现在定义”函数y=f(x)在[x1, x2]上可在标准k下线性近似”是指||≤k恒成立,其中k是一个人为确定的正数.
(1)证明: 0≤≤1;
(2)请你给出一个标准k的范围,使得[0,1]上的函数y=x2与y=x3中有且只有一个可在标准k下线性近似.
[解答]:
(1)由题意, x1≤x≤x2即x1≤x1+(1-) x2≤x2,
∴x1- x2≤(x1- x2)≤0,
∵x1- x2<0,
∴0≤≤1.
(2)由=+(1-)得到=,
所以B、N、A三点在一条直线上,
又由(1)的结论, N在线段AB上且与点M的横坐标相同.
对于 [0,1]上的函数y=x2,A(0,0),B(1,1),
则有||= x- x2=,膝盖疼痛的原因和方法故|| [0,];
对于[0,1]上的函数y=x3, 则有||= x- x3= g(x),
在(0,1)上, g′(x)= 1-3 x2,
可知在(0,1)上y= g(x)只有一个极大值点x=,
所以函数y= g(x)在(0,)上是增函数;在(,1)上是减函数,又g()=
故|| [0,].
经过比较, <,所以取k [,),则有函数y=x2在[0,1]上可在标准k下线性近似,函数y=x3在[0,1]上不可在标准k下线性近似.
[说明] 本题考查向量、函数、导数、不等式的有关知识.由江苏海安高级中学游余祥命题,难度系数预计0.60.
原创题3
[题目]如图1，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在轴上，且使得MF为的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”.
（1）求椭圆的“左特征点”M的坐标；
图1
（2）试根据（1）中的结论猜测：
椭圆的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论.
解析： （1）设为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，可设直线的方程为.并将它代入得：，即.
设，则，
∵被轴平分，∴.
即.
即.
∴.
于是.
∵，即.
（2）对于椭圆.于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与轴的交点.
证明：设椭圆的左准线与轴相交于M点，过Acf鼠标，B分别作的垂线，垂足分别为C，D.
据椭圆第二定义：
∵
于是即.
∴，又均为锐角，
∴，∴.
∴的平分线.故M为椭圆的“左特征点”.
原创题4
[题目]如图2，在正四棱锥S－ABCD
中，E是BC高三数学的中点，P点在侧面内
及其边界上运动，并且总是保持PEAC.
（1）指出动点P的轨迹（即说明动点P在满足给定的条件下运动时所形成的图形），证明你的结论；
（2）以轨迹上的动点P为顶点的三棱锥P－CDE的最大体积是正四棱锥S－ABCD体积的几分之几？
（3）设动点P在G点的位置时三棱锥P腊肉蒸多久－CDE的体积取最大值V1，二面角G－DE－C的大小为，二面角G－CE－D的大小为，求的值.
（4）若将“E是BC的中点”改为“E是BC上异于B、C的一定点”，其它条件不变，请指出点P的轨迹，证明你的结论.
解析：（1）如图3，分别取CD、SC