高三数学试题
一．填空题：
1.假设某10张奖券中有1张，奖品价值100元，有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望
E ξ的概率为 .
2.已知对任意的()
()[],00,,1,1x y ∈-∞+∞∈-，不等式22
268210x xy y a x x
+
----≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .
3.在xOy 平面上，将两个半圆弧2
2
(1)1(1)x y x -+=≥和
22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封
闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2
418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的
圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为 。
4.已知()y f x =是定义在上的增函数, 且()y f x =的图像关于点(6,0)对称. 若实数x , y 满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤, 则22x y +的取值范围___________.
5.已知一玻璃杯杯口直径6cm, 杯深8cm. 如图所示, 其轴截面
截杯壁所得曲线是抛物线的一部分, 一个玻璃小球放入玻璃杯中, 若小球能够碰到杯底, 求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃厚度).
C
P
x
O y
二．选择题：
6.已知O 是ABC ∆外接圆的圆心, A ,B ,C 为ABC ∆的内角, 若cos cos 2sin sin B C
AB AC m AO C B ⋅+⋅=⋅, 则m 的值为 答 [ ] A. 1 B. sin A C. cos A D. tan A
7.已知点列()()
,n n n A a b n N *∈均为函数()0,1x y a a a =>≠的图像上，点列(),0n B n 满足1n n n n A B A B +=，若数列{}n b 中任意连续三项能构成三角形的三边，则a 的取值范围为（ ）
（A ）51510,,22⎛⎫⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ （B ）5151,11,22⎛⎫
⎛⎫
-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （C ） 31310,
,22⎛
⎫
⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ （D ）3131,11,22⎛⎫
⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝
⎭ 8.过圆2
2
旅顺大屠死亡多少人(1)(1)1C x y -+-=：
的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足|||,S S S S I ∏+=+则直线AB 有（ ）
（A ） 0条 （B ） 1条 （C ） 2条 （D ） 3条
三．解答题：
9.已知直线2y x =是双曲线22
22:1x y C a b
-=的一条渐近线，点()()()1,0,,0A M m n n ≠都
在双曲线C 上，直线AM 与y 轴相交于点P ，设坐标原点为O.
（1）设点M 关于y 轴相交的对称点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q ，问：在x 轴上是否存在定点T ，使得?TP TQ ⊥若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.
（2）若过点()0,2D 的直线l 与双曲线C 交于R,S 两点，且OR OS RS +=，试求直线l 的方程.
x
y O B
C
A
灵栖洞10.已知双曲线2
2:12
x C y -=, 设过点(32,0)A -的直线l 的方向向量为(1,)e k =.
(1) 当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时, 求直线l 的方程及l 与m 的距离;
(2) 证明: 当2
2
k >时, 在双曲线C 的右支上不存在点Q , 使之到直线l 的距离为6.
11.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数k ，对定义域中的任意
x ，等式()f kx ＝
2
k
＋()f x 恒成立． （1）判断一次函数()f x ＝ax ＋b (a ≠0)是否属于集合M ；
（2）证明函数()f x ＝2log x 属于集合M ，并出一个常数k ；
（3）已知函数()f x ＝log a x ( a ＞1)与y ＝x 的图象有公共点，证明()f x ＝log a x ∈M ．
12.设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数，对于任意的x M ∈，都有
))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.
超市管理制度（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ；
（2）若函数x
a x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为 “H 函数”,
求证：1>a ；
（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*
N k ∈}上互为“H
函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数，求函数
)(x g
在集合M 上的解析式.
13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()(
)2
1.n n n S a S n N
*
-=∈
（1）求出123,,S S S 的值，并求出n S 及数列{}n a 的通项公式； （2）设()
()1
11n n n n b a a n N +*+=-⋅∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ；
（3）设()()1n n c n a n N =+⋅∈*，在数列{}n c 中取出()
3m m N m *∈≥且项，按照原来的
农村生活顺序排列成一列，构成等比数列{}n d ，若对任意的数列{}n d ，均有
12n d d d M ++
+≤，试求M 的最小值.
14.已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项的和为n S ，满足n
n a p S p -=-2
)1(（*N n ∈），其中p 为正常数，且1≠p ．
（1）求数列}{n a 的通项公式；
高三数学（2）是否存在正整数M ，使得当M n >时，7823741a a a a a n >⋅⋅⋅⋅- 恒成立？若存在，求出使结论成立的p 的取值范围和相应的M 的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若
2
1
=
p ，设数列}{n b 对任意*N n ∈，都有212
3121a b a b a b a b n n n n ---++++
12
1
21--=+n a b n n ，问数列}{n b 是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不
野鸭是，请说明理由．
15.已知抛物线)0(2:2
>=p px y C 上横坐标为4的点到焦点的距离等于5。 （1）求抛物线的方程。
（2）设直线)0(≠+=k b kx y 与抛物线交于两点),(),,(2211y x B y x A ，且
)0(||21>=-a a y y ，M 是弦AB 的中点，过M 做平行于x 轴的直线交抛物线于点D ，
得到ABD ∆；在分别过弦BD AD ，的中点作平行于x 轴的直线交抛物线于点F E ,，得到三角形BDF ADE ∆∆,；按此方法继续下去。 解决如下问题： ①求证：2
2
)
1(16k kb a -=
；②计算ABD ∆的面积ABD S ∆；③根据ABD ∆的面积的计算结
果，写出BDF ADE ∆∆，的面积；请设计一种求抛物线C 与线段AB 所围成封闭图形面积的方法，并求出封闭图形的面积。
x
y
O D B
A
M
F
E
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