数学大讲堂-----韩信点兵
教学内容：韩信点兵
教学目标：
1、知识与技能：掌握用列举法解决“韩信点兵”类似的问题，能理解“韩信点兵”的方法并能运用。
2、过程与方法：经历探究韩信点兵法的过程，培养学生的观察、推理、迁移、有序思考等能力。
3、情感态度与价值观：感受中华民族优秀的数学文化，培养学生的民族自豪感；激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：掌握列举法
教学难点：理解韩信点兵的方法
教学过程：
课前交流：
师：今天的数学大讲堂由我来给大家主讲，数学大讲堂有一个喊口号的规定，当老师说：数学大讲堂！同学们就一定要回应：不一样的课堂！我们试一次好吗？希望声音更洪亮，更自信，再来一次！有什么不一样呢？我们开始上课！
一、情景引入
师：同学们，你们认识这个人物吗？（课件出示韩信图像）
他叫韩信（约公元前231年－前196年），是西汉开国功臣，中国历史上杰出的军事家，与萧何、张良并列为汉初三杰。关于韩信有一个歇后语的故事叫做“韩信点兵，多多益善”，你们听过这个故事吗？这节课我们先来听听这个故事。特别提示：请注意韩信是怎样点兵的？
课件出示：
相传有一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。双方大战一场，楚军不敌，败退回营。而汉军也有伤亡，只是一时还不知伤亡多少。于是，韩信整顿兵马也返回大本营，准备清点人数。当行至一山坡时，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。韩信驰上高坡观看，只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已经十分疲惫了，这时不由得人心大乱。韩信仔细地观看敌方，发现来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。不一会儿，值日副官报告，共有1035人。他还不放心，决定自己亲自算一下。于是命令士
兵3人一列，结果多出2名；接着，他又命令士兵5人一列，结果多出3名；再命令士兵7人一列，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：值日副官计错了，我军共有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”，于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军个个奋勇迎敌，楚军顿时乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
师：读了这个故事，你有什么想说的？
生：韩信真了不起！
生：韩信是怎样算出值日副官记错了的？
师：韩信到底是怎样计算出士兵人数的呢？今天我们就一起来探讨一个中国数学文化史上非常有名的数学趣题-“韩信点兵”。
板书课题：韩信点兵
二、探究新知
1、整理信息，提出问题
课件出示：命令士兵3人一列，结果多出2名；接着，他又命令士兵5人一列，结果多出3
名；再命令士兵7人一列，结果又多出2名。
师：回忆一下刚才的故事情节，韩信是怎样点兵的？对故事中的这段数学信息你们是怎样理解的？
生：士兵的人数除以3余2，除以5余3，除以7余2，
师：问题是什么？
生：一共有多少名士兵？
师：值日副官报告，共有1035人。而韩信算出来有1073人，说明士兵的人数大约是多少？生：1000~1100之间？
师：我们把这些数学信息和问题整理一下。齐读。
课件：士兵的人数除以3余2，除以5余3，除以7余2，一共有多少名士兵？（1000~1100人）
2、尝试解决“韩信点兵”问题
师：我们该怎样解决这个问题呢？请同桌讨论一下。
师：这个方法看起来不错。要到同时符合这三个条件的数肯定有一定的难度，这样吧，我们从简单的入手，先出能同时符合第一、二个条件的数。
引导：
除以3余2的数：2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38......
除以5余3的数：3、8、13、18、23、28、33、38、43......
师：请仔细观察，有没有同时符合这二个条件的数？
生：有8、23
师用红粉笔圈出。
师：我们把同时符合2个条件的数8、23给它取个名字，你想给它取什么名？
师：8、23既符合第一个条件，又符合第2个条件，我们取个名字叫做公共数。并且8这个公共数是最
小的。课件：公共数：8、23
师：仔细观察，8和23之间有什么关系？为什么是增加15？
生：增加了15，因为3和5互质，他们的最小公倍数是15，所以在8的基础上增加15也还是符合这两个条件的公共数。
师：那还有符合条件的公共数吗？
生：38
师：你是怎么知道的？
生：因为3和5是互质的关系，它们的最小公倍数是15，只要用23加上15就行了。师：也就是说在8的基础上加上了几个15？（2个）课件出示：23+15×2
师：你真了不起！那下一个公共数是多少呢？你是怎么想的？
生：53，8加上15乘以3.
课件：23+15×3
师：同学们，仔细看，同时符合这两个条件的公共数有什么规律吗？
师：用最小公共数8加15的整数倍。
师：如果用n表示自然数，可以用一个怎样的代数式来表示这些数？
生：用最小的公共数8加15的倍数，也就是8+15n。
课件：8+15n（n为自然数）
师：继续说出后面的公共数。
生：73、88......
师：到了同时符合两个条件的公共数，接下来我们更进一步，来出同时符合三个条件的公共数。除以7余2的数有哪些？
板书：除以7余2的数：2、9、16、23、30、37、42.......
师：现在你们又有什么发现？
生：23是同时符合这3个条件的公共数并且是最小的。
课件将公共数中的23与下面的23圈在一起。
师：同时符合这3个条件的公共数最小是23，请问同时符合这三个条件的下一个公共数是谁呢？请小组讨论。
生：因为3、5、7的最小公倍数是105，用最小公共数23加上105就是128.（板书：23+105）师：再下一个是谁？你是怎么知道的？
生：233，用23加上2个105.（板书：23+105×2）
师：再说出一个（338），如果用n表示105的整数倍，同时符合这三个条件的公共数怎么用代数式表示？
生：23+105n
师：那现在大家能推算出士兵的总人数了吗？
生：因为士兵的人数是在1000~1100之间，所以我们推算105的10倍是1050，23加上105乘以10等于1073人。
板书：23+105×10=1073
师：同学真了不起！现在我们回顾一下刚才解决问题的步骤是怎样的呢？
生：先出三个数的最小公共数，再用代数式表示公共数，最后根据取值范围计算结果。课件：
方法：
1、同时符合三个条件的最小公共数。
2、寻规律，用代数式表示公共数。
3、根据取值范围计算结果。
师小结：我们用列举的方法，从简单入手，一步一步解决了一个比较复杂的问题。
板书：列举法
4、认识中国剩余定理
师：同学们，那韩信是不是也是用大家的方法呢？其实韩信是从中国古代最有名的数学著作《孙子算经》中得来的，孙子算经中记载了这样一道题以及它的解答方法。
课件出示：
“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何?”答曰：“二十三。”
术曰：“三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。”
师：你能理解题意吗？
生：有一批物品，不知道数量。除以3余2，除以5余3，除以7余2，问物品有多少个？课件出示题目意思。
师：术曰就是解答方法，这段话是这个意思。
课件：除以3的余数是2，用2乘70得140，除以5余3，用3乘21得63，除以7余2，用2成15得30。把三个乘积加起来，减去210就得到答案。凡除以3余1，就得到70，除以5余1，就得到21，除以7余1，就得到15，三个乘积相加就是结果。
师：你们看明白了吗？这道题就是国际上有名的数学趣题，被称作“中国剩余定理”，或称
“孙子定理”，它和韩信点兵是一个道理。
5、明代《算法统宗》口诀法
师：如果刚才没看懂“中国剩余定理”的话，不要急，我国古代的数学家一直在研究这道题，到了明朝的时候，数学家程大位在他的《算法统宗》中就用了四句很通俗的口诀暗示此题的解法，请看！
课件：
三人同行七十稀,
五树梅花廿一枝,
七子团圆正月半,
除百零五便得知.
师：你们能读懂其中的意思吗？
师：这首诗是让人记住几个关键的数，你们一。
师生一起出：3与70，5与21，7与15，还有105(也就是3、5、7的最小公倍数)。
课件在下方出示以上数。
师：这首诗和这些数是什么意思呢?除以3的余数乘以70，除以5的余数乘以21，除以7的余数乘以15，然后把三个乘积加起来除以105得到的余数就是结果
师：我们一起算一算：2×70+3×21+2×15=233 233÷105=2 (23)
师：你们发现了吗，233其实就是（同时符合三个条件的一个公共数）。因为105是3、5、7的公倍数，所以233除以105后所得的余数23就是最小公共数。
师：现在你们知道韩信是怎样算出总人数的吗？
生：韩信根据现场观察，选择了用23加上105的10倍得出1073。
师：请仔细观察，那诗歌里的70，21，15又是怎么得来的呢?
生：70是5和7的公倍数，除以3余1;21是3和7的公倍数，除以5余1;15是3和5的公倍数，除以7余1。
师：韩信的方法其实就是：
方法：1、除以3的余数×70+除以5的余数×21+除以7的余数×15
2、再把乘积的和除以105所得的余数就是最小公共数
3、最后根据取值范围用最小公共数加上若干个105就是需要的结果。
师：你们看，一首朗朗上口的诗竟然是解决这类问题的口诀，它是我国古代数学家智慧的结晶！让我们自豪的大声朗读这首诗！
三、全课总结
师：今天的学习就到这里，此时我想听听大家有什么想说的？
师：中国是个历史悠久的国家，有着古老的文明，灿烂的文化，还有许多古代数学趣题正等待着大家去探秘！请看
课件出示：
1、及时梨果
元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：
九百九十九文钱，及时梨果买一千，
韩信点兵多多益善一十一文梨九个，七枚果子四文钱。
问：梨果多少价几何？
今意：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个。问买梨、果各几个，各付多少钱？
2、明代大数学家程大位著的《算法统宗》中记载的《和尚分馒头》
一百馒头一百僧，大僧三个更无增；
小僧三人分一个，大小和尚各几丁？
今意：把100个馒头分给100个和尚。大和尚每人分3个馒头，小和尚三人分得1个馒头，大和尚、小和尚各有多少人？
3、唐代的天文学家、数学家张逐曾以“李白喝酒”为题材编了一道算题
李白街上走，提壶去打酒；
遇店加一倍，见花喝一斗；
三遇店和花，喝光壶中酒。
试问酒壶中，原有多少酒？
今意：李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到酒店将壶中酒加一倍，每次遇到花就喝去一斗（斗是古代容量单位，斗＝10升），这样遇店见花各3次，把酒喝完。问壶中原来有酒多少？
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