数学结论的纯粹性和完备性
河南省民权县实验中学    范敬民
考查基本技能的一些数学题的结论，往往需要推敲，但在解题时，有时对于一个命题是否有两种结果不加考虑，只作出一个就完事，使结论对而不全；也有时得到两个结论，这两个结论都真吗？缺少推敲，而使结论全而不对。像这样结论缺少纯粹性或不具完备性的情况往往发生，这是解数学试题时失分的重要原因，为使解题时能引起重视，现举例说明：
等腰三角形的周长
例1：一个等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为               
【分析】当腰长为，底边长为时，其周长为：
当腰长为，底边长为时，这时三角形不存在。
∴所求周长为
温馨提示：解题时一定要看准题，看清题意，本题与三角形有关，它的三条边长要满足任意两边之和大于第三边这个性质，可以作为等腰三角形的腰长，而就不能为腰长，若为腰长，则两腰之和为而，这时＜
所以：为腰长，为底边的三角形不存在
若将周长填写为或，可就真的全而不对了，所填答案也就失去了纯粹性。
二次根式
例2：最简二次根式能够合并，则x=         
【分析】依题意得：
               
∴     
当时，，均无意义
当时，，均为最简二次根式
∴
温馨提示：本题若只看到能够合并得，，就认为是答案，这样就忽略了最简二次根式这个条件，使结果失去纯粹性。
一元二次方程中的字母系数
例3：关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是               
【分析】一元二次方程有两个实数根，由根的判别式可知，△>0时有两个不相等的实数根，△=0时有两个相等的实数根，所以△≥0，又因为二次项的系数是字母系数m，为保证原方程是一元二次方程，还需m≠0。
解由题意得    ∴
则m≤1且m≠0
温馨提示：利用△解题时，个别学生易忽略△=0的情况，虽然有时注意到了这一点，但一元二次方程的二次项系数不等于零往往又被遗忘，致使得m≤1,一个不纯粹的结果，为了避免这样的现象发生，最好在解题时，将所有可能的情况与注意点一步到位的全部列出，以免
解题时为了赶时间而忽略不该忽略的问题。
动圆、直线与坐标系
例4：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，现有半径为1的动圆位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过            秒，动圆与直线AB相切
【分析】本题属于动态数学题，解题时要首先分清固定部分和变动部分，半径为1的动圆向右平移与定直线AB相切有两种情况：圆心在A点的左侧或右侧。
解：由于直线交x轴于点A交y轴于点B，则A(4,0)、B(0,-3)
∴OA=4  OB=3  AB=5，如图当圆运动到与直线AB相切于点C且圆心在O点（O点在A点的左侧）连结则⊥AB，Rt△A∽Rt△ABO
∴即，这时，当圆心O运动到A点右侧点时，如图，所以所求时间为秒或秒。
温馨提示：本题既属于动态数学题，又是条件探索性试题，既要寻静的瞬间，以静制动，又要按照解条件探索性试题，先让结论成立的思路进行分析，由于动圆是从原点向右运动，因此相切应有两种情况，同时还应画出图形，这样解题既直观，而又具有完备性。
角与圆
例5：△ABC是半径为2cm的圆内接三角形，若BC=cm，则∠A的度数为             
【分析】求角的度数，要设法构造直角三角形，本题是在圆中求角，应设法构造直径上的圆周角或利用垂径定理构造直角三角形，由于题中△ABC的两个顶点B、C固定，所以：只
须研究顶点A的位置即可。
解：如图⑴过C作直径CE，连结BE
    则EB⊥BC，EC=4，BC=
∴
则：∠BCE=30º ∴∠E=60º故∠A=60º
当点A在弦BC的另一侧时，如图⑵∠E=60º
∵∠A+∠E=180º
∴∠A=120º
故所求∠A的度数为60º或120º
温馨提示：此题是一道无图题，其中圆的半径为2cm，弦BC=cm，显然圆及其弦BC论文结论都是确定的，而△ABC的第3个顶点A的位置是不固定的，点A可在弦BC的两侧（劣弧或优弧上）求∠A的度数时，构造直角三角形是解题的关键，解无图题，要想象出所有可能的情况，使结论具有完备性。
直线、坐标系与面积
例6：如图，直线轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2AO，求△ABP的面积。
【分析】这是一道代数与几何的结合型试题，本题中的三个点A、B、P中，点A、点B的位置都是固定的，虽有OP=2AO且点P在x轴上，但点P的位置可在点A的左边也可在点A的右边有两种情况。
解：当x=0时，y=3，当y=0时，
∴A（，0） B（0，3）则，OB=3
当点P与点A分别在原点O的两侧时
OP=2AO=3，这时
如图
当点P与点A在原点O的同侧时，OP=2AO=3
这时AP=OP-OA=3-
如图
则，所求△ABP的面积为
温馨提示：这道直线、坐标系和三角形面积的综合题，首先要确定直线与两坐标轴的交点
坐标，再讨论不定点P的位置，并画出其相应的图形，再结合三角形面积公式而求之，其中不定点P的位置的确定是确保正确解题的关键：
综上所述，无图题、填空题或一些解答题的解答结果，往往出现对而不全，或全而不对的现象，为避免这种情况的发生，解题时要认真分析题意，充分挖掘题中条件，若遇到不固定点或无图题或方程中有字母系数时，也都要考虑对所有可能的情况一一讨论，所解得的结果要确保满足题意的每一部分，真正符合题意，这样就能使所解得的结果既具有纯粹性，又具有完备性而成为真正的答案。